複素数の四則計算のやり方

複素数 $a + bi$ と $c + di$ を足す、引く、掛ける、割るのいずれかで計算します。$i$ は 2 乗すると $-1$ になる数です。

足し算と引き算は、実部どうし、虚部どうしを足し引きするだけです。掛け算は展開して $i^2 = -1$ で整理します。

割り算は分母の共役 $c - di$ を、分母と分子の両方に掛けます。分母が $c^2 + d^2$ という実数になり、あとは実数で割るだけになります。

例

$(3 + 4i)(1 - 2i)$ を計算します。実部は $3 \times 1 - 4 \times (-2) = 11$、虚部は $3 \times (-2) + 4 \times 1 = -2$ なので、答えは $11 - 2i$ です。展開しても $3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i$ と一致します。絶対値は $\sqrt{121 + 4} = \sqrt{125}$ で約 11.18 です。

なぜ共役を掛けるのか

$(c + di)(c - di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2$ となり、$i$ が消えます。分母から $i$ を追い出すためで、$\sqrt{2}$ の入った分母を有理化するのと同じ考え方です。

注意

$c$ と $d$ が両方 0 のときは 0 で割ることになるので、計算できません。