複素数の極形式と n 乗の求め方

複素数 a + bi を、原点からの距離である絶対値 r と、実軸からの角である偏角 θ で表します。ド・モアブルの定理により、n 乗すると絶対値は rⁿ、偏角は nθ になります。

複素数 $a + bi$ を、原点からの距離と、実軸から測った角で表します。これを極形式といいます。

r = \sqrt{a^2 + b^2}

$r$ を絶対値といいます。偏角 $\theta$ は、原点から点 $(a, b)$ へ向かう向きが実軸となす角です。 $\arctan\dfrac{b}{a}$ で計算できますが、 $a$ が負のときは 180 度ずれるので、点がどの象限にあるかを見て決めます。これで $a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と書けます。

ド・モアブルの定理

極形式にすると、 $n$ 乗が簡単になります。

\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

絶対値は $n$ 乗され、偏角は $n$ 倍されます。掛け算が距離の掛け算と角の足し算に分かれるので、何十乗でも一度に求まります。

例

$(1 + i)^8$ を求めます。 $1 + i$ は絶対値が $\sqrt{2}$ 、偏角が 45 度です。8 乗すると絶対値は $(\sqrt{2})^8 = 16$ 、偏角は $45 \times 8 = 360$ 度になります。360 度は 1 周して 0 度と同じなので、答えは実数の 16 です。順に計算しても $(1+i)^2 = 2i$ 、 $(2i)^2 = -4$ 、 $(-4)^2 = 16$ と一致します。

注意

偏角は $-180$ 度から 180 度の範囲で返します。360 度を足しても同じ点を指すので、偏角の表し方は一通りではありません。

$n$ は整数にしてください。 $a$ と $b$ が両方 0 のときは偏角が決まらないので、計算できません。