無相関の検定のやり方

求めた相関係数が、たまたま出た大きさなのか、本当に関係があると言えるのかを調べます。母集団では無相関だと仮定して、手元の $r$ がそこから出る見込みを測ります。

この $t$ は自由度 $n-2$ の t 分布に従います。$|t|$ が臨界値を超えれば、無相関という仮定が苦しいと判断します。

例

8 組のデータで相関係数が 0.965 だったとします。$t = 0.965 \times \sqrt{6} \div \sqrt{1 - 0.932} = 9.05$ です。自由度 6、有意水準 5% の臨界値は 2.45 なので、これを大きく超えています。p 値は 0.0001 で、無相関とは考えにくいと言えます。

標本が小さいと相関は簡単に出る

3 点しかなければ、相関係数が 0.99 でも有意になりません。点が少ないほど、偶然きれいに並ぶことがあるからです。逆に 1000 点あれば、$r$ が 0.07 でも有意になります。有意かどうかと、関係が強いかどうかは別の話です。

有意でも因果ではない

有意な相関が出ても、片方がもう片方の原因だとは言えません。第三の要因が両方を動かしていることも、まったくの偶然であることもあります。

注意

すべての点が一直線に乗っていると $r$ が $\pm 1$ ちょうどになり、分母が 0 になって $t$ が定まりません。