三次方程式の解き方

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の実数解を求めます。三次方程式には実数解が必ず 1 つ以上あります。グラフが左下から右上へ抜けるので、どこかで必ず $x$ 軸を横切るからです。

まず $x$ をこのようにずらすと、2 次の項が消えて $t^3 + pt + q = 0$ の形になります。ここから先は判別式 $\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}$ の符号で解き方が分かれます。

判別式による場合分け

正なら実数解は 1 つで、カルダノの公式で 2 つの立方根を足して求めます。0 なら重解があり、実数解は 1 つか 2 つになります。負なら異なる実数解が 3 つありますが、カルダノの公式では立方根の中が負になって実数で書けないので、三角関数を使って解きます。

例

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ を解きます。$p = -1$、$q = 0$ となり、判別式は $-\dfrac{1}{27}$ で負です。異なる実数解が 3 つあり、$x = 1, 2, 3$ になります。$(x-1)(x-2)(x-3)$ を展開すると、もとの式に戻ることを確かめられます。

注意

出力は異なる実数解だけを小さい順に並べます。重解は 1 つと数えるので、$x^3 = 0$ の解は 0 が 1 つです。解が 3 つに満たないときは、空いた枠をハイフンで埋めます。

複素数の解は出しません。$a$ が 0 のときは三次方程式ではないので、二次方程式の計算機を使ってください。