多項式の定積分の求め方

多項式を下端から上端まで積分します。係数は次数の高いほうから並べます（3, 2, 1 なら 3x² + 2x + 1）。xⁿ の原始関数は xⁿ⁺¹ ÷ (n+1) で、上端と下端での値の差が定積分です。

多項式を下端から上端まで積分します。まず原始関数を求め、上端と下端での値の差をとります。

\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}

微分の逆で、指数を 1 増やしてその数で割ります。係数は次数の高いほうから並べて入れてください。 $3, 2, 1$ なら $3x^2 + 2x + 1$ です。

\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

$F$ が原始関数です。これを微分積分学の基本定理といいます。

例

$3x^2 + 2x + 1$ を 0 から 2 まで積分します。原始関数は $x^3 + x^2 + x$ です。上端では $8 + 4 + 2 = 14$ 、下端では 0 なので、定積分は $14 - 0 = 14$ になります。

$f(x)$ が正の範囲では、定積分はグラフと $x$ 軸のあいだの面積になります。 $f(x)$ が負の範囲では、面積に負の符号がついたものが足されます。グラフが $x$ 軸をまたぐときは、正の部分と負の部分が打ち消し合うことに注意してください。

積分定数は 0 と置いています。定積分は差をとるので、どんな値を置いても答えは変わりません。

上端を下端より小さくしても計算できます。その場合は符号が反転します。

係数は抜けている次数も 0 として並べてください。 $x^3 + 1$ なら $1, 0, 0, 1$ です。