楕円体の体積と表面積の求め方

球を 3 方向にそれぞれ違う倍率で伸ばした形を楕円体といいます。ラグビーボールや、少しつぶれた地球の形がこれにあたります。

体積の式は、球の式の $r^3$ を $abc$ に置き換えただけです。

• $V$ は体積
• $a$、$b$、$c$ は 3 方向の半径

$a = b = c$ とすれば $abc$ は $r^3$ になり、球の式に戻ります。

この単純さには理由があります。半径 $r$ の球を、$x$ 方向に $a / r$ 倍、$y$ 方向に $b / r$ 倍、$z$ 方向に $c / r$ 倍だけ引き伸ばすと楕円体になります。体積は 3 方向の倍率の積だけ増えるので、$\dfrac{4\pi r^3}{3} \times \dfrac{abc}{r^3}$ となり、$r$ が消えて $\dfrac{4\pi abc}{3}$ が残ります。

表面積は式で書けない

ところが表面積のほうは、初等関数では書けません。楕円積分という別の関数が要ります。楕円の周の長さが円周のように簡単に書けないのと同じ事情です。面積や体積は掛け算で伸び縮みしますが、長さや表面積には平方根が入り込み、それがきれいに積分できません。

そこで近似式を使います。この計算機はクヌート・トムセンの式を使っています。

$p$ の 1.6075 は、実際の値に合うように選ばれた数です。3 つの半径が等しいときは中身が $(r^2)^p$ の平均になるので、$4\pi r^2$ ちょうどになり、球では誤差が出ません。いちばんずれる形でも、誤差は 1.1% ほどに収まります。

例

既定の入力は半径が 5、4、3 の楕円体です。

体積は $4\pi \times 60 \div 3$ でおよそ 251.3274 になります。表面積は近似式からおよそ 199.5017 です。

同じ体積の球の半径もあわせて出しています。$abc$ の立方根で、$60$ の立方根のおよそ 3.9149 です。中身の量だけを比べたいとき、この値を使うと球や別の楕円体と並べやすくなります。

注意

表面積は近似値です。厳密な値が要る場面では、楕円積分を数値計算する必要があります。

地球は赤道方向の半径が極方向より 21 km ほど長い楕円体で、$a$ と $b$ が等しく $c$ だけ短い形になります。このように 2 つが等しいものを回転楕円体といい、こちらは表面積を初等関数で書けます。3 つとも違う場合だけが書けません。