指数分布（次に起こるまでの時間）の求め方

できごとがばらばらに起こるとき、次の 1 件までの待ち時間が従う分布です。故障までの時間、客が来る間隔、放射性原子が崩壊するまでの時間などにあてはまります。

$\mu$ は平均の間隔で、その逆数 $\lambda = 1 \div \mu$ を発生率といいます。$t$ を超えて待つ確率は $e^{-t/\mu}$ です。

例

平均 10 分に 1 件のできごとを考えます。5 分以内に起こる確率は $1 - e^{-0.5} = 0.393$、39.3% です。5 分を超えて待つ確率は 60.7% になります。中央値は $10 \times \ln 2 = 6.93$ 分で、平均の 10 分より短くなります。

平均と中央値がずれる

半分のできごとは 6.93 分以内に起こるのに、平均は 10 分です。まれに非常に長く待つ場合があり、それが平均を引き上げるからです。待ち時間の分布では、平均だけを見ると実感とずれます。

記憶しない

すでに 10 分待ったあと、さらに 5 分以内に起こる確率は、待ち始めた時点で 5 分以内に起こる確率と同じ 39.3% です。待った時間は次の予測に何も足しません。「そろそろ来るはず」が成り立たないのはこのためです。

注意

この分布があてはまるのは、できごとが互いに影響せずばらばらに起こる場合です。電車のように間隔が決まっているものには使えません。