二次式の因数分解のやり方

$ax^2 + bx + c$ を 1 次式の積に分解します。解の公式で 2 つの解を求め、そこから因数を組み立てます。

$x_1$ と $x_2$ は $ax^2 + bx + c = 0$ の解です。解が $\dfrac{p}{q}$ という分数なら、因数 $\left(x - \dfrac{p}{q}\right)$ を $q$ 倍して $(qx - p)$ と書き直せます。こうすると整数の係数だけの形になります。

整数で分解できるかどうか

判別式 $D = b^2 - 4ac$ が平方数なら、解の公式の $\sqrt{D}$ が整数になるので、解は有理数です。係数も整数であれば、整数だけの因数分解ができます。平方数でなければ解は無理数になり、整数では分解できないので、解を小数にした形で表します。

例

$6x^2 + 5x - 6$ を分解します。$D = 25 + 144 = 169 = 13^2$ で平方数です。解は $\dfrac{-5 \pm 13}{12}$ から $\dfrac{2}{3}$ と $-\dfrac{3}{2}$ になります。それぞれ $(3x - 2)$ と $(2x + 3)$ に直して、$6x^2 + 5x - 6 = (3x - 2)(2x + 3)$ です。

注意

判別式が負のときは、実数の範囲で 1 次式の積に分解できません。

$a$ が 0 だと二次式ではないので計算できません。