幾何分布（初めて成功するまで）の求め方

同じ試行をくり返すとき、初めて成功するのが何回目かを表す分布です。$k-1$ 回続けて失敗し、$k$ 回目に成功する確率を求めます。

$k$ 回以内に成功する確率は、1 回も成功しない確率の裏をとって $1 - (1-p)^k$ です。平均は $1 \div p$、標準偏差は $\sqrt{1-p} \div p$ になります。

例

1 回の成功確率が 20% のとき、ちょうど 3 回目に初めて成功する確率は $0.8^2 \times 0.2 = 0.128$、12.8% です。3 回以内に成功する確率は $1 - 0.8^3 = 0.488$、48.8% になります。平均は $1 \div 0.2 = 5$ 回で、標準偏差は 4.47 回です。

平均まで待てば当たるわけではない

平均が 5 回でも、5 回以内に成功する確率は $1 - 0.8^5 = 67.2$% にすぎません。3 回に 1 回は 5 回でも当たらないことになります。分布の裾が右へ長く伸びているので、平均は中央値より大きくなります。

記憶しない

何回外しても、次の 1 回が当たる確率は $p$ のままです。「そろそろ当たるはず」ということはありません。この性質を無記憶性といい、連続の世界では指数分布が同じ性質を持ちます。

注意

成功確率が 0 だといつまでも成功しないので、平均が定まりません。