横置き円筒タンクの液量の求め方

縦に立てたタンクなら、液面の高さが半分なら中身も半分です。ところが横に寝かせた円筒タンクでは、そうなりません。断面が円なので、底や天井の近くでは幅が狭く、真ん中あたりでは幅が広いためです。

液面より下の断面は弓形になります。その面積に長さを掛けたものが液量です。

• $\theta$ は液面までの中心角（ラジアン）
• $r$ はタンクの半径
• $h$ は液面の高さ
• $L$ はタンクの長さ
• $V$ は液量

$\dfrac{r^2}{2}\theta$ は扇形の面積です。そこから $\dfrac{r^2}{2}\sin\theta$、つまり中心と液面の両端が作る三角形の面積を引くと、弓形だけが残ります。

例

既定の入力は、直径 100 cm・長さ 200 cm のタンクに、深さ 30 cm まで液が入っている場合です。

中心角は $2\arccos(20 \div 50)$ でおよそ 2.3186 ラジアンです。弓形の面積はおよそ 1981.68 cm²、これに長さ 200 を掛けて、液量はおよそ 396.3367 L になります。満量はおよそ 1570.7963 L です。

ここが要点です。深さは直径の 30% ありますが、液量は満量の 25.23% しかありません。深さから中身を目分量で読むと多めに見積もってしまいます。

ずれは端へ行くほど大きくなります。深さ 10 cm では液量はおよそ 81.751 L で、満量の 5.20% にすぎません。深さは 10% あるのに、量は半分ほどしかない計算です。逆に深さ 50 cm ではちょうど 50% になり、真ん中でだけ比例と一致します。

液面の幅は $2\sqrt{h(2r - h)}$ で、およそ 91.6515 cm です。

対称性

深さを 70 cm にすると液量はおよそ 1174.4596 L になります。30 cm のときの 396.3367 L と足すと、ちょうど満量の 1570.7963 L です。

上下がひっくり返った関係なので、必ずこうなります。深さが半分の 50 cm のときは、満量のちょうど半分になります。

注意

両端の鏡板は入れていません。実際のタンクは端が平らではなく外へ膨らんでいることが多いので、その分だけ実際にはもう少し入ります。厳密な検定が要る場面ではタンクごとの換算表を使ってください。

液面の高さは直径以下にしてください。タンクが水平に置かれていることも前提です。傾いていれば断面の切り方が変わります。

燃料タンクやローリー、貯水槽の残量を検尺棒で測るときに使う計算です。深さと量が比例しないので、目盛りは等間隔になりません。