3×3 行列式と逆行列の求め方

3 行 3 列の行列の行列式と逆行列を求めます。行列式は 1 行目にそって余因子展開します。

行列を $[[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]$ と置いています。$a$ には $a$ の行と列を除いた 2×2 の行列式を掛け、$b$ と $c$ についても同じようにして、符号を $+$、$-$、$+$ と交互につけて足します。

逆行列は、各成分の余因子を並べた行列を転置し、行列式で割ったものです。

例

$[[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]$ の行列式は $1(1 \times 0 - 4 \times 6) - 2(0 \times 0 - 4 \times 5) + 3(0 \times 6 - 1 \times 5)$ です。順に $-24$、$+40$、$-15$ となり、合わせて 1 になります。行列式が 1 なので逆行列は割り算なしで整数だけになり、$[[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]$ です。

行列式が表すもの

行列式は、その行列が空間の体積を何倍にするかを表します。符号が負なら、向きが裏返ることを意味します。

行列式が 0 の行列に逆行列はありません。3 本の行ベクトルが同じ平面に乗ってしまい、空間を潰す変換になっているからです。潰れたものは元に戻せません。

注意

成分は 1 行目から順に $a$, $b$, $c$、2 行目が $d$, $e$, $f$、3 行目が $g$, $h$, $i$ です。列ではなく行の順に入れてください。