慣性モーメントの求め方（形ごとの係数）

回転のしにくさを表す量が慣性モーメントです。直線運動での質量にあたるもので、同じ質量でも、軸から遠いところに質量があるほど大きくなります。

$m$ は質量、$r$ は半径（棒なら長さ）、$k$ は形で決まる係数、$I$ が慣性モーメントです。どの形も同じ形をしていて、違うのは係数だけです。

形ごとの係数

• 円輪（中心軸）は 1
• 円板・円柱（中心軸）は 2 分の 1
• 中空の球（薄い球殻）は 3 分の 2
• 中実の球は 5 分の 2
• 細い棒（中心を通る軸）は 12 分の 1
• 細い棒（端を通る軸）は 3 分の 1

円輪の係数がいちばん大きいのは、質量がすべて軸から $r$ の距離にあるからです。中実の球は、質量の多くが軸の近くにあるので 5 分の 2 まで下がります。同じ棒でも、端を回すと中心で回すより 4 倍しにくくなります。

回転の運動エネルギー

$\omega$ は角速度、$E$ が回転の運動エネルギー、$L$ が角運動量です。直線運動の $\frac{1}{2} m v^2$ と $m v$ で、質量を慣性モーメントに、速さを角速度に置き換えた形になっています。

例

質量 2 kg、半径 0.3 m の円板が、角速度 10 rad/s で回っているとき、慣性モーメントは 0.09 kg·m² です。

係数は 2 分の 1 なので、0.5 × 2 × 0.3² = 0.09 です。回転の運動エネルギーは 0.5 × 0.09 × 10² = 4.5 J、角運動量は 0.09 × 10 = 0.9 になります。

注意点

質量が一様に散らばっているものとして計算しています。

軸の位置が変われば係数も変わります。表にない軸で回す場合は、平行軸の定理を使ってください。軸を重心から $d$ だけずらすと、$I$ が $m d^2$ 増えるというものです。棒の 12 分の 1 と 3 分の 1 の関係も、これで説明できます。