パーセンタイルの求め方

パーセンタイルは、データを小さい順に並べたとき、下から数えて何 % のところにある値かを表します。90 パーセンタイルなら、データの 9 割がその値以下にある、という位置です。50 パーセンタイルは中央値そのものです。

位置は次の式で決めます。

• $r$ は位置
• $n$ はデータの個数
• $p$ は求めたいパーセンタイル

この位置は 0 から数えます。$n$ ではなく $n - 1$ を掛けているのは、0% がちょうど最小値に、100% がちょうど最大値に対応するようにするためです。

位置が整数にならないときは、その前後の値のあいだを比例配分します。位置が 8.1 なら、8 番目の値から 9 番目の値へ向かって 1 割だけ進んだところ、という意味になります。

例

既定の入力 12, 15, 18, 20, 25, 30, 33, 38, 42, 50 で、90 パーセンタイルを求めます。データは 10 個で、すでに小さい順に並んでいます。

位置は $(10 - 1) \times 0.9$ で 8.1 です。0 から数えて 8 番目は 42、9 番目は 50 ですから、そのあいだを 1 割進みます。$42 + 0.1 \times (50 - 42)$ で 42.8 になります。

50 パーセンタイルも見てみます。位置は $9 \times 0.5$ で 4.5、0 から数えて 4 番目の 25 と 5 番目の 30 のちょうど真ん中で 27.5 です。個数が偶数のときの中央値と一致しています。

注意

パーセンタイルの決め方は 1 通りではありません。ここで使っているのは比例配分する方法で、表計算ソフトや科学計算のライブラリでよく使われるものです。ほかに、比例配分せずに近い順位の値をそのまま返す方法もあります。

この電卓の四分位数の求め方は、日本の教科書の定義に従っていて、中央値でデータを 2 つに分けてから、それぞれの中央値を取ります。定義が違うので、同じデータでも 25 パーセンタイルと第 1 四分位数はずれることがあります。この例では 25 パーセンタイルが 18.5、第 1 四分位数が 18 になります。どちらかが誤りなのではなく、定義が違うだけです。

上位と下位の取り違えにも気をつけてください。90 パーセンタイルは「下から 90% のところ」であって、「上位 90%」ではありません。上位 10% との境目のことです。テストで 90 パーセンタイルなら、受けた人の 9 割より上にいるという意味になります。

システムの応答時間では 95 パーセンタイルや 99 パーセンタイルがよく使われます。平均だと少数の極端に遅い応答が薄まってしまうためで、「ほとんどの利用者はこれより速い」という言い方をするのに向いています。