点と直線の距離の求め方

直線 $ax + by + c = 0$ と点 $(x, y)$ の距離を求めます。ここでいう距離とは、その点から直線へ下ろした垂線の長さのことです。

$a$、$b$、$c$ は直線の係数、$(x, y)$ は点の座標、$d$ が距離です。直線上でいちばん近い点である垂線の足もあわせて出します。

分子と分母の意味

分子の $ax + by + c$ は、点の座標を直線の式に入れた値です。点が直線上にあれば 0 になり、離れるほど大きくなります。ただしこの値は係数の大きさに比例して変わるので、$\sqrt{a^2 + b^2}$ で割って、直線の表し方によらない長さに直します。絶対値をとるのは、直線のどちら側にあっても距離を正の数にするためです。

例

直線 $3x + 4y - 5 = 0$ と点 $(2, 3)$ の距離を求めます。分子は $|3 \times 2 + 4 \times 3 - 5| = 13$、分母は $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ なので、$d = 13 \div 5 = 2.6$ です。垂線の足は $(0.44, 0.92)$ になります。

注意

直線の式は $ax + by + c = 0$ の形で入れてください。$y = 2x + 1$ の形なら $2x - y + 1 = 0$ と直してから入れます。

$a$ と $b$ が両方 0 だと式が直線を表さないので、計算できません。