正多角柱の体積と表面積の求め方

底面と天面が同じ正多角形で、まっすぐ立った柱を正多角柱といいます。六角ボルトの頭、鉛筆、多角形の柱などがこの形です。

体積も表面積も、まず底面積が分かれば決まります。

• $A$ は底面積
• $V$ は体積
• $n$ は底面の辺の数
• $s$ は一辺の長さ
• $h$ は柱の高さ

側面は縦長の長方形が $n$ 枚並んだものなので、側面積は $n s h$ です。表面積は底面と天面の 2 枚ぶんに側面を足して、$2A + n s h$ になります。

底面積の式はどこから来るか

正多角形の中心から各頂点へ線を引くと、合同な二等辺三角形が $n$ 個できます。三角形 1 つの底辺は一辺 $s$、高さは中心から辺までの距離です。

この距離は、中心角を半分にした直角三角形から出ます。中心角は $2\pi \div n$ なので、その半分の角の正接を使って $\dfrac{s}{2\tan(\pi / n)}$ となります。三角形 1 つの面積は $\dfrac{s}{2} \times \dfrac{s}{2\tan(\pi / n)}$ で、これを $n$ 倍したものが上の式です。

例

既定の入力は、一辺 4 の正六角形を底面とする高さ 10 の柱です。

底面積は $6 \times 16 \div (4\tan 30°)$ でおよそ 41.5692 になります。体積はこれに高さを掛けておよそ 415.6922 です。側面積は $6 \times 4 \times 10$ でちょうど 240、表面積は $2 \times 41.5692 + 240$ でおよそ 323.1384 になります。

辺の数を 4 にすると、一辺 4 の正方形を底面とする高さ 10 の柱、つまり直方体になります。底面積 16、体積 160 と、素直な答えが返ります。

注意

辺の数は 3 以上の整数にしてください。2 以下では多角形になりません。

辺の数を増やしていくと、底面は円に近づいていきます。一辺の長さを変えずに辺だけ増やすと柱はどんどん太くなるので、円柱と比べたいときは周の長さをそろえてください。

周の長さを 24 にそろえて確かめると、正六角形（一辺 4）の底面積はおよそ 41.5692、正十二角形（一辺 2）ではおよそ 44.7846、正二十四角形（一辺 1）ではおよそ 45.5745 と増えていきます。同じ周の長さの円は半径がおよそ 3.8197 で、面積はおよそ 45.8366 です。角を増やすほどこの値に近づき、決して超えません。同じ周の長さなら円がいちばん広い、という性質がここに現れています。

同じ底面・同じ高さの角錐は、この体積のちょうど 3 分の 1 になります。角錐の体積はこの電卓の別の求め方にあります。