必要な標本サイズ（母比率）の求め方

支持率や視聴率、不良率のように、比率を調べる調査で何人集めればよいかを求めます。考え方は母平均のときと同じで、信頼区間の幅を許容誤差以下にするよう解きます。

比率のばらつきは $p(1-p)$ で決まるので、標準偏差の代わりにこれが入ります。

• $n$ は必要な標本サイズ
• $z$ は信頼水準に対応する臨界値。95% なら 1.96
• $p$ は予想される比率
• $E$ は許容誤差

$p(1-p)$ は $p = 0.5$ のときに最大の 0.25 になり、0 や 1 に近づくほど小さくなります。ですから比率が半々に近いほど、たくさん集める必要があります。逆にいえば、比率の見当がまったくつかないときは 50% として計算しておけば、どんな結果になっても足りるということになります。

例

既定の入力で見てみます。予想される比率 30%、許容誤差 3%、信頼水準 95% です。

$1.96^{2}$ はおよそ 3.8416、$0.3 \times 0.7$ は 0.21、$0.03^{2}$ は 0.0009 です。$3.8416 \times 0.21 \div 0.0009$ を計算すると 896.4 になり、切り上げて 897 人が必要だと分かります。

比率が分からないものとして 50% で計算すると、$3.8416 \times 0.25 \div 0.0009$ で 1067.1、切り上げて 1068 人です。世論調査の標本がしばしば 1000 人あまりなのは、これが理由です。誤差 3% で 95% の信頼を確保するなら、比率がどうであれ 1068 人あれば足ります。

母集団の大きさは関係ない

この式に母集団の大きさは入っていません。有権者が 1 万人の町でも 1 億人の国でも、同じ精度を得るのに必要な標本は同じ 1068 人です。

直感に反しますが、そういうものです。鍋の味を見るのに、鍋が大きいからといってたくさん飲む必要はありません。よくかき混ぜてあれば、ひと匙で足ります。標本調査で大事なのは全体に対する割合ではなく、標本そのものの数と、偏りなく選べているかどうかです。

注意

無作為に選べていることが前提です。この式は「何人集めるか」しか教えてくれません。集め方が偏っていれば、1068 人だろうと 10 万人だろうと結果は偏ります。標本の大きさより、選び方のほうが結果を左右します。

母集団が小さいときだけは話が別で、標本が母集団の 5% を超えるようなら有限母集団修正を入れて減らせます。

回答が得られた数を数えます。配った数ではありません。