単振動（ばね振り子）の求め方

ばねにつないだおもりの往復運動を単振動といいます。もとの位置からのずれに比例した力が、つねに戻る向きにはたらく運動です。

$k$ はばね定数、$m$ は質量、$\omega$ は角振動数、$T$ は周期です。最大の速さは $A\omega$、全エネルギーは $\frac{1}{2}kA^2$ で、$A$ は振幅です。

周期は振幅によらない

式に $A$ が入っていないことに注目してください。大きく振らせても小さく振らせても、1 往復にかかる時間は変わりません。大きく振れば移動する距離は長くなりますが、そのぶん速く動くので釣り合います。振り子時計が正確なのはこの性質のおかげです。

例

0.2 kg のおもりを 20 N/m のばねにつなぎ、振幅 0.1 m で振らせます。角振動数は $\sqrt{20 \div 0.2} = 10$ rad/s、周期は $2\pi \div 10 = 0.628$ 秒、振動数は 1.59 Hz です。最大の速さは $0.1 \times 10 = 1$ m/s、全エネルギーは $\frac{1}{2} \times 20 \times 0.1^2 = 0.1$ J になります。

注意

振幅を 3 倍にすると、最大の速さは 3 倍、エネルギーは 9 倍になります。エネルギーだけが振幅の 2 乗で効きます。

単振り子の周期は $2\pi\sqrt{\ell \div g}$ で、こちらは質量によりません。同じ単振動でも、何で決まるかが違います。