3 元連立一次方程式の解き方

a₁x + b₁y + c₁z = d₁ など 3 つの式から x, y, z を求めます。クラメルの公式で、係数の行列式と、その 1 列を右辺で置きかえた行列式の比をとります。係数の行列式が 0 のときは解が一つに定まりません。

$x$ 、 $y$ 、 $z$ の 3 つが分からないとき、式が 3 本あれば解けます。クラメルの公式では、係数を並べた行列式を作り、その 1 列を右辺で置きかえた行列式との比をとります。

x = \dfrac{D_x}{D}, \quad y = \dfrac{D_y}{D}, \quad z = \dfrac{D_z}{D}

$D$ は係数の行列式です。 $D_x$ は 1 列目を右辺で置きかえた行列式で、 $D_y$ と $D_z$ も同じように 2 列目、3 列目を置きかえます。

例

$x + y + z = 6$ 、 $2x - y + z = 3$ 、 $x + 2y - z = 2$ を解きます。係数の行列式は $D = 7$ です。1 列目を右辺の 6, 3, 2 で置きかえると $D_x = 7$ になるので、 $x = 1$ です。同じように $D_y = 14$ 、 $D_z = 21$ となり、 $y = 2$ 、 $z = 3$ が出ます。3 本の式すべてに入れて確かめられます。

解が定まらないとき

係数の行列式が 0 のときは、解が一つに定まりません。3 本のうち 1 本がほかの 2 本から作れてしまい、実質 2 本ぶんの情報しかない場合です。解が無数にあるか、まったくないかのどちらかになります。

注意

代入法や加減法で解いても答えは同じです。クラメルの公式は手順が決まっているぶん、機械に解かせるのに向いています。

係数は式ごとに $a$ , $b$ , $c$ と右辺の $d$ の順で入れてください。