歪度と尖度の求め方

平均と標準偏差だけでは、分布の形は決まりません。同じ平均・同じ標準偏差でも、左右に偏った分布もあれば、裾が重くて外れ値の出やすい分布もあります。その形を数で表すのが歪度と尖度です。

• $g_1$ は歪度、$g_2$ は尖度
• $x_i$ はそれぞれの値
• $\bar{x}$ は平均
• $s$ は標準偏差
• $n$ はデータの個数

平均からのずれを標準偏差で割ってから 3 乗・4 乗しています。こうしておくと、cm で測ろうと m で測ろうと同じ値になり、単位に左右されません。

3 乗は符号を残すので、右に大きく外れた値があれば歪度は正、左に外れていれば負になります。左右対称なら打ち消し合って 0 です。4 乗は符号を消すので、どちらの裾であれ遠くに離れた値があるほど大きくなります。正規分布ではこれがちょうど 3 になるので、3 を引いて正規分布を 0 とする形にしています。

例

既定の入力 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 15 で見てみます。

平均は 5.5、標準偏差はおよそ 3.6674 です。歪度はおよそ 1.6543 で、正の大きな値になりました。並びを見ると 2 から 6 のあたりに固まっていて、9 と 15 だけが右へ大きく離れています。この右の裾が歪度を押し上げています。

尖度はおよそ 1.7200 です。正規分布の 0 より大きいので、正規分布より裾が重い、つまり外れ値の出やすい分布だということになります。

歪度が正のとき、平均は中央値より大きくなります。この例では平均 5.5 に対して中央値は 4 です。右の裾に引っぱられて平均のほうが大きくなっています。

注意

ここで使っているのは母集団の式で、$n$ で割る素直な形です。標本から母集団の歪度・尖度を推定するための補正を入れた式もあり、表計算ソフトの関数はそちらを使うことが多いので、同じデータでも値がずれます。

データが少ないと、どちらの値も当てになりません。3 乗・4 乗するので、たった 1 つの外れ値が結果をほとんど決めてしまいます。この例の 10 個でも、15 を除くと歪度は大きく変わります。目安として見るなら、少なくとも数十個は欲しいところです。

すべての値が同じでばらつきが 0 のときは、割る数が 0 になるので求まりません。