球冠（球を平面で切った部分）の求め方

球をナイフで一度だけ切ると、大きいほうと小さいほうに分かれます。この切り取られた部分を球冠といいます。球形のタンクに入った液量や、ドーム屋根の面積を出すときに使う形です。

• $V$ は球冠の体積
• $S$ は球冠の曲面の面積（切り口の円は含みません）
• $r$ は球の半径
• $h$ は切り取る高さ

切り口の円の半径は $\sqrt{h(2r - h)}$ です。球の中心から切り口までの距離が $r - h$ になるので、三平方の定理から出ます。

曲面の面積は高さだけで決まる

曲面の式 $2\pi r h$ に注目してください。切り取る高さ $h$ しか入っておらず、球のどのあたりを切ったかは出てきません。

つまり、てっぺん近くを厚さ 1 で切っても、赤道のあたりを厚さ 1 で切っても、その帯の曲面積は同じになります。てっぺん近くは輪が小さいけれど傾きが急で、赤道のあたりは輪が大きいけれど傾きがゆるやかです。この 2 つがちょうど打ち消し合います。アルキメデスが見つけた性質で、球の表面積が $4\pi r^2$ になることもここから導けます。

例

既定の入力は、半径 5 の球を高さ 2 だけ切り取った場合です。

体積は $\pi \times 4 \times (15 - 2) \div 3$ でおよそ 54.4543 になります。曲面の面積は $2\pi \times 5 \times 2$ でおよそ 62.8319 です。切り口の円の半径は $\sqrt{2 \times 8}$ でちょうど 4、切り口を含めた全表面積はおよそ 113.0973 になります。

高さを直径いっぱいの 10 にすると、体積はおよそ 523.5988、曲面はおよそ 314.1593 になり、半径 5 の球そのものと一致します。高さを半径と同じ 5 にすれば半球で、体積も曲面も球のちょうど半分です。

注意

切り取る高さは直径以下にしてください。それを超えると球を切り取った形ではなくなります。

球形タンクの液量を出すとき、液面が中心より上にあるなら、上の空いている部分を球冠として計算し、球全体から引くほうが楽です。液面が下半分にあるときだけ、そのまま球冠として計算します。

曲面の面積には切り口の円が入っていません。ドームの屋根材の量を出すなら曲面だけ、切り口も含めた立体の表面を塗るなら全表面積を使ってください。

呼び名が 2 通りあります。切り取った立体そのものを球欠、その曲がった表面だけを球冠と呼び分けることがあります。ただし立体のほうを球冠と呼ぶ資料も多く、この電卓もそちらに合わせています。