標準誤差の求め方

同じ母集団から標本を取り直すたびに、標本平均は少しずつ違う値になります。そのぶれ幅を表すのが標準誤差です。

• $SE$ は標準誤差
• $s$ は標本標準偏差（偏差の 2 乗の和を $n - 1$ で割り、平方根を取った値）
• $n$ はデータの個数

標準偏差と標準誤差は、名前は似ていますが表しているものが違います。標準偏差はデータそのもののばらつきで、データを増やしても小さくなりません。母集団のばらつきに近づいていくだけです。標準誤差は平均という推定値の精度で、データを増やせば小さくなります。

なぜ平方根なのかは、分散で考えると見通しがよくなります。独立に取った $n$ 個の値を足すと分散も $n$ 倍になりますが、平均を出すために $n$ で割ると、分散は $n^2$ で割られます。差し引きで標本平均の分散はもとの $\dfrac{1}{n}$ になり、標準偏差はその平方根なので $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ になります。

分母が $\sqrt{n}$ であるところが要点です。標準誤差を半分にするには、データを 2 倍ではなく 4 倍集める必要があります。100 個を 400 個にしてやっと半分です。調査の手間に対して精度が上がりにくいのは、この平方根のためです。

例

既定の入力 12, 15, 18, 20, 25 で見てみます。データは 5 個で、平均は 18 です。

平均からのずれは順に −6, −3, 0, 2, 7 で、2 乗して足すと 98 になります。標本標準偏差はこれを $5 - 1 = 4$ で割って平方根を取り、$\sqrt{24.5}$ でおよそ 4.9497 です。

標準誤差はこれを $\sqrt{5}$ で割って、およそ 2.2136 になります。データそのものは 4.9497 ほどばらついているけれど、その平均は 2.2136 ほどしかぶれない、という読み方をします。

使いどころ

信頼区間はこの値から作ります。母平均の 95% 信頼区間は、標本平均から t 分布の臨界値 × 標準誤差だけ両側に広げた区間です。標準誤差が小さいほど区間は狭くなります。

グラフのエラーバーにもよく使われます。ただし棒の長さが標準偏差なのか標準誤差なのか、あるいは信頼区間なのかで意味がまったく変わるので、図には必ず書き添える約束になっています。標準誤差は標準偏差より短くなるため、断らずに使うとばらつきが小さく見えてしまいます。

注意

標本標準偏差は $n - 1$ で割ります。$n$ で割る母標準偏差を使うと、標準誤差をわずかに小さく見積もることになります。

データが 1 個では求まりません。ばらつきを測るのに最低 2 個が要ります。