三角形の重心・外心・内心・垂心の求め方

3 頂点の座標から、三角形の 4 つの中心の座標を求めます。重心は 3 頂点の平均、外心は 3 辺の垂直二等分線の交点、内心は 3 角の二等分線の交点、垂心は 3 本の垂線の交点です。

三角形の「中心」は 1 つではありません。何をもって中心とみなすかで、別々の点が出てきます。代表的なものが 4 つあり、まとめて四心と呼ばれます。

重心は 3 本の中線（頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線）が交わる点です。座標は 3 頂点の平均になります。厚紙で三角形を作れば、この点で釣り合います。

G = \left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

外心は 3 辺の垂直二等分線が交わる点です。3 頂点から等しい距離にあるので、ここを中心にすると 3 頂点を通る円が描けます。それが外接円です。

内心は 3 つの角の二等分線が交わる点です。3 辺から等しい距離にあるので、ここを中心にすると 3 辺に接する円が描けます。それが内接円です。座標は、向かい合う辺の長さを重みにした頂点の平均になります。

I = \dfrac{a A + b B + c C}{a + b + c}

垂心は、各頂点から向かい合う辺に下ろした 3 本の垂線が交わる点です。

例

既定の入力は (0, 0)、(6, 0)、(2, 4) の 3 点です。

重心は 3 頂点の平均で、 $(8 \div 3, 4 \div 3)$ のおよそ (2.6667, 1.3333) です。外心は (3, 1)、内心はおよそ (2.4076, 1.488)、垂心は (2, 2) になります。

外心・重心・垂心の 3 つは、必ず一直線に並びます。これをオイラー線といいます。しかも重心は、外心から垂心までを 1 対 2 に内分する位置にあります。

上の例で確かめられます。外心 (3, 1) から垂心 (2, 2) へ向かうと、x は 1 減り y は 1 増えます。その 3 分の 1 だけ進んだ点は $(3 - 1/3, 1 + 1/3)$ で、重心と一致します。

この関係から、外心と重心が分かれば垂心は計算だけで出ます。 $H = A + B + C - 2O$ という形になり、この計算機もそうやって求めています。内心だけはオイラー線に乗りません（二等辺三角形のときを除きます）。

重心と内心は必ず三角形の内部にあります。外心と垂心は、鈍角三角形では外に出ます。直角三角形では、垂心が直角の頂点そのものに、外心が斜辺の中点になります。

正三角形では 4 つとも同じ点に重なります。3 点が一直線上にあると三角形にならず、外心も垂心も決まりません。

四心で終わりではありません。1 つの内角と、残り 2 つの外角を二等分すると傍心という点が出ます。1 辺と、他の 2 辺の延長に接する円の中心で、こちらは 3 つあります。ほかにも名前のついた中心が数百も知られています。