ベクトルの外積の求め方

空間の 2 つのベクトルから、その両方に垂直なベクトルを作ります。これを外積といいます。

成分ごとに、自分以外の 2 つの成分をたすきに掛けて引きます。外積の大きさは 2 つのベクトルが張る平行四辺形の面積になり、その半分が三角形の面積です。

内積との違い

内積は数を返しますが、外積はベクトルを返します。内積は 2 つのベクトルがどれだけ同じ向きかを表し、外積はどれだけ違う向きかを表します。平行なベクトルの外積はゼロベクトルになり、面積も 0 です。

例

$(2, 3, 4)$ と $(5, 6, 7)$ の外積を求めます。$x$ 成分は $3 \times 7 - 4 \times 6 = -3$、$y$ 成分は $4 \times 5 - 2 \times 7 = 6$、$z$ 成分は $2 \times 6 - 3 \times 5 = -3$ です。大きさは $\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54}$ で約 7.348、三角形の面積はその半分の約 3.674 になります。

注意

外積は掛ける順番で向きが変わります。$\vec{b} \times \vec{a}$ は $\vec{a} \times \vec{b}$ の符号を反転したものです。内積とはここが違います。

平面のベクトルを扱うときは $z$ を 0 にします。外積は $z$ 成分だけが残り、その値が平行四辺形の面積になります。