極大イデアルの定義と性質

$A$ のイデアル $m$ は

1. $m\ne A$
2. $m$ より真に大きい自明でないイデアルが存在しない

を満たすとき、極大イデアルという。

可換環においてイデアルの集合（イデアルは集合だから集合の集合ということになる）は、包含関係によって順序をつくる。ツォルンの補題から、すべての自明でない可換環（零でない可換環）は極大イデアルをもつ。

可換環をイデアルで割ると可換環になる。可換環を極大イデアルで割ると可換環になるが、同時に体になる。これはイデアルの包含関係が商に受けつがれることと、体に自明でないイデアルが存在しないことからわかる。

極大イデアルは素イデアルである

そこに含まれる元を二つの積に分解したとき、分解後の元がすべてそこに含まれるようなイデアルを素イデアルという。極大イデアルは素イデアルである。

可換環を素イデアルで割ると整域になるが、体は整域であるから、極大イデアルは素イデアルになる。