極大イデアルで割ると、なぜ剰余体になるのか

可換環 $R$ のイデアル $\mathfrak{m}$ が極大イデアルであるとは、$\mathfrak{m}\ne R$ であって、$\mathfrak{m}$ を真に含む真のイデアルが一つもないことをいいます^[1]。

つまり $\mathfrak{m}⊊I\subseteq R$ という状況が起きたら、$I$ は $R$ そのものしかない。$\mathfrak{m}$ と $R$ のあいだには何も入る余地がありません。

イデアル全体は包含関係で順序づけられる。極大イデアルは、その順序で $R$ のすぐ下に置かれた元。

イデアルの並びで見る

$\mathbb{Z}$ のイデアルは $n\mathbb{Z}$ の形だけです。$n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$ は $m$ が $n$ を割ることと同じなので、包含関係はそのまま約数の関係になる。

$12\mathbb{Z}$ を含むイデアルを並べると、$12$ の約数の格子がそのまま現れる。

$2\mathbb{Z}$ と $3\mathbb{Z}$ の上には $\mathbb{Z}$ しかありません。$4\mathbb{Z}$ の上には $2\mathbb{Z}$ が挟まるので、極大にはならない。

$\mathbb{Z}$ の極大イデアルは $p\mathbb{Z}$（$p$ は素数）だけです^[1,3]。約数を持たないことが、そのまま「上に何も挟まらない」に翻訳されている。

割ると体になる

極大イデアルの正体は、割った先を見るといちばんはっきりする。$R$ を可換環、$\mathfrak{m}$ をそのイデアルとすると、次の 2 つは同値になる^[1,2,3,5]。

証明の骨は対応定理です。$\mathfrak{m}$ を含む $R$ のイデアルと、$R/\mathfrak{m}$ のイデアルが一対一に対応する。

体のイデアルは $0$ と全体の $2$ つしかありません。したがって $R/\mathfrak{m}$ が体なら、$\mathfrak{m}$ を含むイデアルも $\mathfrak{m}$ と $R$ の $2$ つだけに絞られる。

逆向きも同じ対応で出る。$\mathfrak{m}$ が極大なら $R/\mathfrak{m}$ のイデアルは $2$ つだけで、$0$ でない可換環でイデアルが $2$ つしかなければ体。

$R/\mathfrak{m}$ を $\mathfrak{m}$ の剰余体と呼びます^[1]。$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が $p\mathbb{Z}$ の剰余体にあたる。

剰余体で逆数が現れる瞬間

$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ では、$2$ を掛け続けると $2,4,3,1$ と $0$ 以外を全部通る。$1$ に戻るので、$2$ には逆数がある。

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ で $3$ を掛け続けると $3,9,3,9$ と往復するだけです。$1$ に届かないので $3$ は逆数を持ちません。

$5$ は素数で $5\mathbb{Z}$ は極大、だから $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ は体になる。$12$ は素数でなく $12\mathbb{Z}$ は極大でないので、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ は体になりません。

割った先が体かどうかという判定が、そのまま極大かどうかの判定になっている。

極大イデアルは素イデアルである

$\mathfrak{m}$ が極大なら $R/\mathfrak{m}$ は体です。体には零因子がないので、$R/\mathfrak{m}$ は整域。

割った先が整域になるイデアルを素イデアルと呼びます。したがって極大イデアルはすべて素イデアルになる^[2,4]。

$1$ を持たない環では、この含意が崩れます。$2\mathbb{Z}$ の中で $4\mathbb{Z}$ は極大なのに、$2\cdot 2=4$ から素にならない^[1]。$1$ を要求する立場をとる理由の一つ。

逆は成り立たない

素イデアルが極大とは限りません。$\mathbb{Z}$ の零イデアル $(0)$ は素ですが、$2\mathbb{Z}$ に真に含まれるので極大ではない。

$\mathbb{Z}[x]$ の $(x)$ も素です。割ると $\mathbb{Z}$ が残り、$\mathbb{Z}$ は整域だが体ではありません。

素イデアルの鎖がどこまで長く伸びるかが、環の次元を測る。すべての素イデアルが極大になる環は $0$ 次元と呼ばれる^[5]。

例: 一変数多項式環

体 $k$ 上の $k[x]$ では、極大イデアルは既約多項式が生成するイデアルです^[3]。$k[x]$ が単項イデアル整域なので、イデアルは生成元一つで決まる。

$k$ が代数閉体なら、既約多項式は $1$ 次式だけ。極大イデアルは $(x-c)$ の形に限られます^[1]。

$\mathbb{R}[x]$ では事情が変わる。$x^2+1$ が既約なので $(x^2+1)$ も極大で、割った先は $\mathbb{C}$ になる。

例: 多変数と弱形の零点定理

$k$ を代数閉体とすると、$k[x_1,\dots ,x_n]$ の極大イデアルはすべて次の形をとります^[1,5]。

$$(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)$$

これがヒルベルトの零点定理の弱形です。極大イデアルと $k^n$ の点が一対一に対応する。

イデアルで割ると $k$ そのものが残る。「点を代入する」という操作と「極大イデアルで割る」という操作が、同じものの裏表になっています。

代数閉体でないと崩れる。$\mathbb{R}[x]$ の $(x^2+1)$ に対応する実数の点はありません。

例: 連続関数の環

実数上の連続関数全体 $C(\mathbb{R})$ を考える。点 $0$ での値をとる写像 $f\mapsto f(0)$ は環準同型で、その核は極大イデアル^[2]。

核は $f(0)=0$ を満たす関数全体です。割った先は $\mathbb{R}$ そのもので、体になる。

コンパクトな空間の上では、極大イデアルはすべてこの形をとる。空間の点と極大イデアルが一致するので、環から空間を復元できる。

例: 整数係数の多項式環

$\mathbb{Z}[x]$ の極大イデアルは、素数 $p$ と、$p$ を法として既約な多項式 $f$ を使って $(p,f(x))$ と書けます^[1]。

生成元が $2$ つ要る。$\mathbb{Z}[x]$ は単項イデアル整域ではないため。

たとえば $(2,x^2+x+1)$ が極大で、割ると $4$ 元体になる。$(2)$ だけでは極大でなく、割った先は ${\mathbb{F}}_2[x]$ という整域です。

クルルの定理

$0$ でない単位元つきの環には、極大イデアルが少なくとも一つあります^[1,4,5]。さらに強く、どんな真のイデアルも極大イデアルに含まれる^[3]。

証明はツォルンの補題です。真のイデアル全体を包含関係で順序づけ、鎖の上界として和集合をとる。

和集合が真のイデアルであることは $1$ が効く。どの鎖の元も $1$ を含まないので、和集合も $1$ を含まず、全体に一致しない。

単位元のない環では成り立ちません。極大イデアルを一つも持たない環が実在する^[1]。

局所環

極大イデアルがちょうど一つしかない環を局所環と呼びます^[1,2,3]。唯一の極大イデアルが、単元でない元を全部集めたものになる。

$p$ 進整数環や、体上の形式的冪級数環 $k[[x]]$ が代表例です^[3]。$k[[x]]$ では定数項が $0$ でない冪級数が単元で、残りが唯一の極大イデアル $(x)$ をなす。

素イデアルによる局所化は、極大イデアルを一つに絞る操作です。$R_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルは $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ ただ一つに縮む。

ジャコブソン根基

すべての極大イデアルの共通部分をジャコブソン根基と呼びます^[1]。局所環では、それが唯一の極大イデアルそのもの。

$x$ が根基に入ることと、どの $r$ についても $1-rx$ が単元であることは同値です。中山の補題がこの性質の上に立つ。

$\mathbb{Z}$ の根基は $0$ です。素数は無限にあり、すべての $p\mathbb{Z}$ の共通部分は $0$ に潰れる。

互いに素なイデアル

$\mathfrak{m}+\mathfrak{n}=R$ となる $2$ つのイデアルを互いに素と呼ぶ。異なる極大イデアルは必ず互いに素になる。

$\mathfrak{m}+\mathfrak{n}$ は $\mathfrak{m}$ を真に含むイデアルなので、極大性から $R$ に一致する。ここから中国剰余定理が使える形が整います。

$$R/(\mathfrak{m}\cap \mathfrak{n})\cong R/\mathfrak{m}\times R/\mathfrak{n}$$

$\mathbb{Z}$ で $\mathfrak{m}=3\mathbb{Z}$、$\mathfrak{n}=5\mathbb{Z}$ とすれば、$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ が $2$ つの体の積に分かれる。

よくある誤り

参考文献