素イデアルの定義と性質（可換環）

可換環 $A$ のイデアル $p$ は

を満たすとき素イデアルという。 $A$ を $p$ で割ると整域になる。

例

整数 $Z$ は可換環で、 $n Z (n \in Z)$ はイデアルになる。 $n$ が素数のとき、 $n Z$ は素イデアルになる。

例えば $3 Z$ は素イデアル。実際、 $3 Z$ は自明でないイデアルで、 $x y$ が $3 Z$ に含まれていたら、 $x$ または $y$ が $3$ の倍数になるため、 $x$ または $y$ が $3 Z$ に含まれる。

しかし $6 Z$ は素イデアルでない。 $x y$ が $6 Z$ に含まれているとしても

$x = 2 m (m は 3 の倍数でない) y = 3 n (n は 2 の倍数でない)$

のとき、 $x$ と $y$ はどちらも $6 Z$ に含まれない。素イデアルは素数を拡張した概念といえる。