素数を集合に置きかえる（素イデアルと整域）

可換環 $A$ のイデアル $\mathfrak{p}$ が素イデアルであるとは、$\mathfrak{p}\ne A$ であって、次を満たすことをいいます^[1,2]。

$$xy\in \mathfrak{p}⟹x\in \mathfrak{p}\text{または}y\in \mathfrak{p}$$

積が入っていたら、因子のどちらかがもう入っている。素数がもつ「割り切れば因子まで割り切る」という性質を、そのままイデアルの言葉に置きかえたものです^[3]。

素数の性質を写しとる

素数 $p$ が $ab$ を割るなら、$p$ は $a$ か $b$ のどちらかを割ります。ユークリッドの補題と呼ばれる事実で、素因数分解の一意性を支えている^[1]。

$\mathbb{Z}$ で $3\mathbb{Z}$ を見ます。$xy$ が $3$ の倍数なら $x$ か $y$ が $3$ の倍数なので、$3\mathbb{Z}$ は素イデアル。

$6\mathbb{Z}$ は素になりません。$2\cdot 3=6$ は $6\mathbb{Z}$ に入るのに、$2$ も $3$ も入っていない^[2]。

$3$ の網は $6$ を捕まえる前に $3$ を捕まえています。$6$ の網は $6$ で初めて反応し、$2$ も $3$ も素通りさせた。

素イデアルとは、この「先に因子を捕まえる」網のことです。

割ると整域になる

素イデアルの言い換えとして、いちばん使いやすい形がこれです^[1,2,3,5]。

証明は書き下すだけで済みます。$A/\mathfrak{p}$ で $\bar{x}\bar{y}=0$ とは $xy\in \mathfrak{p}$ のこと。

素イデアルの定義から $x\in \mathfrak{p}$ か $y\in \mathfrak{p}$、つまり $\bar{x}=0$ か $\bar{y}=0$ が出ます。これは零因子がないという主張そのもの。

逆向きも同じ式を逆にたどるだけです。整域の定義が「$0$ の因子は $0$ しかない」なので、翻訳すれば素イデアルの定義に戻ります。

$\mathfrak{p}\ne A$ という条件は、$A/\mathfrak{p}$ が零環でないことに対応する。整域の定義に $1\ne 0$ が入っているため。

零イデアル $(0)$ が素であることと、$A$ 自身が整域であることは同値です^[2]。

補集合が積で閉じている

素イデアルの定義を裏返すと、補集合 $S=A\setminus \mathfrak{p}$ について次が言えます^[1,2]。

$$x\in S,y\in S⟹xy\in S$$

$S$ は積について閉じ、$1$ も含む。こうした集合を積閉集合と呼ぶ。

積閉集合があると、分母に使って局所化 $S^{-1}A$ が作れる。素イデアルの補集合でこれを行った $A_{\mathfrak{p}}$ が、局所化のいちばん基本的な形です。

$A_{\mathfrak{p}}$ は極大イデアルを $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ ただ一つしか持たない局所環になる。素イデアルを一点に選んで、その周りだけを見る操作にあたる。

極大イデアルとの上下

極大イデアルはつねに素イデアルです^[5]。割ると体になり、体は整域なので、そのまま従う。

逆は成り立ちません。$\mathbb{Z}$ の $(0)$ は素ですが、$2\mathbb{Z}$ に真に含まれるので極大ではない。

単項イデアル整域では、$0$ でない素イデアルがすべて極大になります^[5]。$\mathbb{Z}$ や $k[x]$ がその例で、$(0)$ だけが例外として残る。

一般の環では、素イデアルの鎖がいくらでも長くなる。その最大の長さがクルル次元です。

図形との対応

素イデアルの鎖は、図形の入れ子にそのまま対応する。$k[x,y]$ で見ると分かりやすい。

$$(0)⊊(x)⊊(x,y)$$

$(0)$ は平面全体、$(x)$ は $x=0$ という直線、$(x,y)$ は原点です。イデアルが大きくなるほど、図形は小さくなる。

割った先を見ると理由がはっきりする。$k[x,y]/(x)\cong k[y]$ は $1$ 変数分の自由度が残った整域で、$k[x,y]/(x,y)\cong k$ は自由度が尽きた体。

既約な図形が素イデアルに対応する^[5]。$xy=0$ という図形は $2$ 本の直線に分かれるので、$(xy)$ は素になりません。

例: 整数環の素イデアル

$\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(0)$ と $p\mathbb{Z}$（$p$ は素数）で尽きます^[3]。$0$ でないものが素数と一対一に対応する。

$(0)$ を素に数えるのは奇妙に見えますが、$\mathbb{Z}$ が整域である以上そうなります。この一点が、有理数体をとる操作に対応している。

例: 一変数多項式環

体 $k$ 上の $k[x]$ では、素イデアルは $(0)$ と既約多項式が生成するイデアルです^[3]。単項イデアル整域なので、$0$ でない素はすべて極大にもなる。

$\mathbb{C}[x]$ なら既約多項式は $1$ 次式だけ。素イデアルは $(0)$ と $(x-c)$ に限られます。

例: 整数係数の多項式環

$\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルは 4 つの型に分かれます^[3]。

$(2,x)$ は定数項が偶数の多項式全体で、素イデアルです^[1,5]。割った先は $2$ 元体になる。

型が 4 つに分かれるところに、$\mathbb{Z}[x]$ のクルル次元が $2$ であることが現れている。

素元と素イデアル

$A$ の元 $p$ が素元であるとは、$(p)$ が $0$ でない素イデアルになることをいいます^[2]。元の言葉とイデアルの言葉が、ここでつながる。

既約元とは別の概念です。既約元は「単元と自分自身以外に分解できない」元で、素元より条件がゆるい。

一意分解整域では両者が一致する。$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のような環ではずれが出ます。

$6$ の分解が $2$ 通りに割れる点に、その差がはっきり出ます。$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ となり、どの因子も既約なのに素元ではない。

例: 点で消える関数

多様体の上の可微分関数のうち、ある点で $0$ になるものを集めるとイデアルになります^[5]。これは極大で、したがって素イデアル。

割った先は実数体そのものです。関数を一点で評価する操作が、そのままイデアルで割る操作にあたる。

代数の側でも同じ形が出ます。$k[x,y]$ で原点を消す関数の全体が $(x,y)$ で、これが原点に対応する極大イデアルでした。

極小素イデアル

包含関係で下からの極小元にあたる素イデアルを、極小素イデアルと呼びます^[1]。$0$ でない環には必ず存在する。

幾何では既約成分に対応する。$k[x,y]/(xy)$ の極小素は $(x)$ と $(y)$ の $2$ つで、$2$ 本の直線がそのまま出てきます。

イデアル $I$ の根基は、$I$ を含む素イデアルすべての共通部分です。ここでも極小なものだけを見れば足りる。

素イデアル回避

有限個の素イデアル ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$ があるとき、イデアル $I$ がどの ${\mathfrak{p}}_j$ にも含まれないなら、和集合にも含まれません^[1]。

素イデアル回避と呼ばれる補題です。$I\subseteq {\mathfrak{p}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{p}}_n$ なら、どれか一つに丸ごと入る。

和集合は普通イデアルになりません。それでも「はみ出す元が一つある」と言えるところが効く。

スペクトルとザリスキ位相

素イデアル全体の集合を $\mathrm{Spec}(A)$ と書き、スペクトルと呼びます^[4]。部分集合 $T\subseteq A$ に対して、$T$ を含む素の集まりを $V(T)$ と書く。

$V(T)$ を閉集合とすると位相が入る^[4]。$f$ を含まない素の集まり $D(f)$ が開集合で、これがスキームの土台になります。

極大イデアルではなく素イデアルを使う理由がある。環準同型 $A\to B$ で素イデアルは引き戻せるのに、極大イデアルは極大のまま戻るとは限らないため^[3]。

$\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ で確かめられます。$\mathbb{Q}$ の極大イデアル $(0)$ を引き戻すと $\mathbb{Z}$ の $(0)$ になり、これは極大ではない。

よくある誤り

参考文献