素イデアルの定義と性質（可換環）

可換環 $A$ のイデアル $p$ は

1. $p\ne A$
2. $xy\in p\to x\in p\text{or}y\in p$

を満たすとき素イデアルという。$A$ を $p$ で割ると整域になる。

例

整数 $Z$ は可換環で、$nZ(n\in Z)$ はイデアルになる。$n$ が素数のとき、$nZ$ は素イデアルになる。

例えば $3Z$ は素イデアル。実際、$3Z$ は自明でないイデアルで、$xy$ が $3Z$ に含まれていたら、$x$ または $y$ が $3$ の倍数になるため、$x$ または $y$ が $3Z$ に含まれる。

しかし $6Z$ は素イデアルでない。$xy$ が $6Z$ に含まれているとしても

$$\begin{gathered} x=2m\text{(m は 3 の倍数でない)} \\ y=3n\text{(n は 2 の倍数でない)} \end{gathered}$$

のとき、$x$ と $y$ はどちらも $6Z$ に含まれない。素イデアルは素数を拡張した概念といえる。