作用反作用とつり合いはどこが別か｜力が働く相手を見る

物体 A が物体 B に力を及ぼすとき、B もまた A に力を及ぼします。この $2$ つの力は大きさが等しく、向きが逆になる。

$${\vec{F}}_{A\to B}=-{\vec{F}}_{B\to A}$$

これを作用反作用の法則といいます。ニュートンが『プリンキピア』（1687 年）に第 3 の法則として置いたものです。

一方だけが力を出すという状況は起こりません。力はかならず対で現れる。

法則が要求する 4 つの条件

片方が先に働いて、あとから反作用が返ってくるわけではありません。押した瞬間に押し返されている。

2 つの力は別々の物体に働く

作用と反作用は、同じ物体に働くのではありません。

友だちの背中に乗った場面で考える。あなたが背中を下向きに押す力は、友だちに働く。友だちがあなたを上向きに押し返す力は、あなたに働く。

働く相手が違うので、この $2$ つは足し算の対象になりません。別々の物体の運動方程式に、別々に入っていく。

同じ物体に働く逆向きの力とは、ここが決定的に違う。

例：机の上に置いた本

本には重力が下向きに働き、机からの垂直抗力が上向きに働く。大きさは等しく、向きは逆。

この $2$ つを作用反作用の対だと考えると誤りです。どちらも本という同じ物体に働いているので、条件を満たさない。

机が押し返している力は、へこみが目に見えないぶん気づきにくいところがあります^[1]。

正しい対は次のように組みます。

見分け方は一つです。「A が B を押す」の $2$ つの名詞を入れ替えて「B が A を押す」にすれば、それが反作用にあたる。

つり合いとの違い

同じ物体に働く逆向きの力が釣り合っている状態を、力のつり合いといいます。作用反作用とは別の話。

つり合いは物体が $1$ つ、作用反作用は物体が $2$ つ。この違いを押さえておくと、力の図を描くときに迷わなくなります。

打ち消し合わない理由

作用と反作用が打ち消し合うなら、何も動き出さないはずです。それでも物は動く。

理由は前節のとおりで、$2$ つの力が別の物体に働くからです。力が打ち消し合うのは、同じ物体に働く場合だけ。

あなたが友だちを押した力は友だちを加速させ、友だちがあなたを押し返した力はあなたを加速させる。それぞれの物体で別々に効いている。

例：自由落下でも成り立つ

橋から飛び降りたとき、あなたは何に力を及ぼしているのか。相手は地球です。

地球があなたを引く力の反作用は、あなたが地球を引く力になる。大きさは同じで、向きは上向き。

地球もこの力を受けて、あなたのほうへ加速しています。ただし地球の質量が桁違いに大きいため、その加速度は測れないほど小さい。

支えるものがないから作用反作用が働かない、とはなりません。重力は接触していなくても働く力で、地球という相手がつねに存在する。

加速度が違うのは質量が違うから

同じ大きさの力を受けても、結果は同じになりません。運動方程式 $a=F/m$ が示すとおり、加速度は質量に反比例する。

$$a_A=\frac{F}{m_A},a_B=\frac{F}{m_B}$$

軽いほうが大きく動きます。それを見て「軽いほうが大きな力を受けた」と考えると外す。

力の大きさと、その力が引き起こす効果は別の量です。効果の大きさから力の大きさを読みとろうとすると、この法則を見失う^[2]。

例：氷の上で押し合う

$60\mathrm{kg}$ と $40\mathrm{kg}$ のスケーターが向かい合い、互いに押し合いました。押す力は $120\mathrm{N}$、押している時間は $0.50\mathrm{s}$ とする。

受ける力積はどちらも $120\times 0.50=60\mathrm{kg}\cdot m/s$ です。向きだけが逆になる。

$$v_A=\frac{60}{60}=1.0m/s,v_B=\frac{60}{40}=1.5m/s$$

軽いほうが速く動き出す。速さの比は質量の逆比になり、$60:40$ に対して $1.0:1.5$。

片方だけが押した場合でも結果は変わりません。押される側も同じ大きさで押し返すので、$2$ 人とも動き出す。

歩く、泳ぐ、飛ぶ

前へ進む動作は、どれも作用反作用を使っている。

つるつるの氷の上で歩けない理由も、地面を後ろへ押せないことにある。押せなければ押し返してももらえない。

ロケットが真空で進めるのも同じ理屈になる。押す相手は外の空気ではなく、自分が吐き出したガスそのものです。

運動量保存則とのつながり

作用反作用の法則から、運動量保存則が導けます。$2$ つの物体が及ぼし合う力を $F$ と $-F$ とする。

同じ時間 $\Delta t$ だけ働くので、それぞれの運動量の変化は次のようになる。

$$\begin{array}{rl}\Delta p_A& =-F\Delta t\\ \Delta p_B& =F\Delta t\end{array}$$

足すと $0$ です。合計の運動量は変わらない。

$$\Delta p_A+\Delta p_B=0$$

系の中で働く力は必ず対で現れるため、合計には効きません。外から力が加わらない限り、全体の運動量は保たれる。

例：壁を押す

壁を手で押しても、壁は動きません。それでも壁はあなたを同じ大きさで押し返している。

動かないのは力を受けていないからではない。壁が床や地面と一体になっていて、全体の質量が大きすぎるためです。

氷の上に立って壁を押すと、今度はあなたのほうが後ろへ動きます。押し返す力は変わっていないのに、結果だけが変わる。

効いているのは、あなたの足と床のあいだの摩擦。摩擦がなければ、反作用がそのまま加速に使われる。

馬と荷車のパラドックス

馬が荷車を引くと、荷車も同じ大きさで馬を引き返します。ならば $2$ つは打ち消し合い、荷車は永久に動かないのではないか。

この問いは、$2$ つの力を同じ物体に働くものと見たときにだけ生まれます。実際には片方が荷車に、もう片方が馬に働く。

荷車の運動方程式に入るのは、馬が荷車を引く力だけです。ほかに大きな力がなければ、荷車はその力で前へ加速する。

馬のほうには、荷車から引き返される力と、地面から受ける反作用の $2$ つが働きます。地面を蹴る力のほうが大きければ、馬も前へ進む。

力の図を描く順序

作用反作用の混乱は、力の図を描く手順を決めておくと起きにくくなります。

反作用は相手の物体に働くので、着目した物体の図には出てきません。図に出ないことが、そのまま打ち消し合わないという結論になる。

綱引きで勝負がつく理由

綱を通して両チームが引き合う力は、同じ大きさです。作用反作用の法則がそう決めている。

同じ力なら勝敗がつかないように見える。実際に効いているのは、綱ではなく足と地面のあいだの力。

地面をより強く後ろへ押せたチームが、より大きな反作用を地面から受ける。靴の摩擦と体重が効くのはそのためで、綱を引く力の差で決まるわけではない。

接触しない力でも成り立つ

作用反作用は、触れ合っている場合に限りません。重力や電気の力のように離れて働く力でも、対で現れる。

地球と月は互いに引き合っています。地球が月を引く力と、月が地球を引く力は同じ大きさ。

質量が違うので加速度は違うものの、力そのものは等しい。地球も月に引かれて、$2$ 天体の共通の重心のまわりをわずかに回っている。

正と負の電荷のあいだでも同じことが起きる。引き合う力の大きさは、どちらから見ても変わらない。

参考