試験に出やすい因数分解の有名な問題

因数分解は基本的に分配法則やたすき掛けを使って解きますが、中にはもっと独特なテクニックを要する問題があります。ここでは高次の式や三種類以上の文字が出てくる式の因数分解を扱っていきます。

$(1)x^4-16$

$$\begin{array}{rl}{x}^4-16& =(x^2-4)(x^2+4)\\ & =(x-2)(x+2)(x^2+4)\end{array}$$

$(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$

与式を $y$ とする。

$$\begin{array}{rl}y& =(x+1)(x+4)\times (x+2)(x+3)-24\\ & =(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24\\ & =(x^2+5x{)}^2+10(x^2+5x)+24-24\\ & =(x^2+5x{)}^2+10(x^2+5x)\\ & =(x^2+5x)(x^2+5x+10)\\ & =x(x+5)(x^2+5x+10)\end{array}$$

$(3)x^4+x^2+1$

与式を $y$ とする。

$$\begin{array}{rl}y& =x^4+x^2+1\\ & =x^4+x^3-x^3+x^2+1\\ & =x^4+x^3+x^2+1-x^3\\ & =x^2(x^2+x+1)+1-x^3\\ & =x^2(x^2+x+1)+(1-x)(x^2+x+1)\\ & =(x^2-x+1)(x^2+x+1)\end{array}$$

$(4)x^4+4$

与式を $y$ とする。

$$\begin{array}{rl}y& =(x^2+2{)}^2-4x^2\\ & =(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2\\ & =(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)\\ & =(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)\end{array}$$