弧と弦はどこで見分けがつかなくなる？三角関数の極限 sin x / x = 1

$x=0.1$ のとき $\frac{\sin x}{x}=0.99833$、$x=0.01$ なら $0.9999833$ です。$x$ を $0$ に近づけると $1$ に向かいます。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$x=0$ を代入すると $\frac{0}{0}$ で、値が決まりません。近づけた先だけが決まる、という形の等式です。

角はラジアンで測ります。度で測ると答えが変わる。理由はあとで見ます。

弧の長さと弦の長さ

半径 $1$ の円で、中心角 $x$ ラジアンの弧の長さは $x$ です。一方、その角に対する $y$ 座標が $\sin x$。

角を小さくすると、弧はまっすぐに近づきます。曲がった長さ $x$ と、まっすぐな長さ $\sin x$ の比が $1$ に寄る^[2]。

これを面積の大小で確かめます。単位円上に $O=(0,0)$、$A=(1,0)$、$P=(\cos x,\sin x)$、$Q=(1,\tan x)$ をとります^[3]。

三角形 $OAP$ の面積は $\frac{\sin x}{2}$、扇形 $OAP$ は $\frac{x}{2}$、三角形 $OAQ$ は $\frac{\tan x}{2}$ です。

内側から外側へ入れ子になっているので、この順に大きくなります^[3]。

$$\frac{\sin x}{2}\le \frac{x}{2}\le \frac{\tan x}{2}$$

はさみうちの形に直す

各辺を $2$ 倍し、$0<x<\frac{\pi }{2}$ では $\sin x>0$ なので $\sin x$ で割ります。

$$1\le \frac{x}{\sin x}\le \frac{1}{\cos x}$$

逆数をとると不等号の向きが変わり、目的の形になる^[1]。

$$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$$

左端は $x\to 0$ で $1$、右端は定数の $1$。両側が同じ値に向かうので、あいだの $\frac{\sin x}{x}$ も $1$ です。

負の側も同じ値になります。$\frac{\sin (-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}$ で、符号が 2 つとも消えるためです。

左右の極限が一致するので、$x\to 0$ の極限として $1$ が確定します。

ラジアンでなければ成り立たない

$x$ を度で測ると、この極限は $1$ になりません。$\sin 1^{\circ }=0.017452$ なので、比は $0.017452$ です。

行き先は $\frac{\pi }{180}=0.0174533$。弧の長さが $x$ になるのはラジアンで測ったときだけなので、当然といえば当然です^[2]。

度で測ると導関数にも $\frac{\pi }{180}$ が居座り、$(\sin x^{\circ }{)}^{\prime }=\frac{\pi }{180}\cos x^{\circ }$ になります。

余計な定数を出さないための約束がラジアンです。$e$ を対数の底に選ぶのと同じ理由。

例：$\frac{\sin 5x}{x}$

角の中身が $5x$ なので、分母もそろえます。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{5x}\cdot 5\\ & =1\cdot 5=5\end{array}$$

$t=5x$ と置けば $x\to 0$ は $t\to 0$ で、$\frac{\sin t}{t}\to 1$。角の係数がそのまま答えになります。

例：$\frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

分子と分母をそれぞれ $x$ で割る形に持ちこみます。

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin 3x}{\sin 5x}& =\frac{\frac{\sin 3x}{3x}\cdot 3x}{\frac{\sin 5x}{5x}\cdot 5x}\\ & \to \frac{1\cdot 3}{1\cdot 5}=\frac{3}{5}\end{array}$$

角の係数の比が残る。$\sin$ どうしの比は、中身の比に落ちます。

例：$\frac{\tan x}{x}$

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ と分けます。

$$\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1\cdot 1=1$$

$\cos x\to 1$ なので効きません。$\tan$ も $0$ の近くでは $x$ と同じ振る舞いをします。

例：$\frac{1-\cos x}{x^2}$

分子と分母に $1+\cos x$ を掛け、$1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$ を作ります。

$$\begin{array}{rl}\frac{1-\cos x}{x^2}& =\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}\\ & ={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\\ & \to 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$$

$x=0.1$ で $0.49958$、$x=0.01$ で $0.4999996$。数値でも $\frac{1}{2}$ に寄っています。

半角の公式 $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$ を使う道もあります。

$$\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2\to \frac{1}{2}$$

例：分母が $x$ のとき

$\frac{1-\cos x}{x}$ は $0$ に向かいます。上の結果に $x$ を掛けるだけ。

$$\frac{1-\cos x}{x}=\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x\to \frac{1}{2}\cdot 0=0$$

分母の次数が 1 つ下がると答えが $0$ になる。この差が $\cos$ の導関数が原点で $0$ になることに対応します^[2]。

例：$x\to \pi$ のとき

$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin x}{x-\pi }$ を求めます。近づく先が $0$ でないので、置きかえます。

$t=x-\pi$ とすると $x\to \pi$ は $t\to 0$ で、$\sin (\pi +t)=-\sin t$。

$$\frac{\sin x}{x-\pi }=\frac{-\sin t}{t}\to -1$$

$0$ 以外へ近づく問題は、まず $0$ へ寄せる置きかえを探します。

例：$x\to \infty$ のとき

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$ は $0$ です。$\sin x$ が $-1$ と $1$ のあいだで揺れ続けるので、分母だけが伸びる。

$$-\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$$

両端が $0$ に向かうので、はさみうちで $0$ に決まります^[1]。同じ式でも近づく先が違えば答えも違う。

$x=0$ に値 $1$ を割り当てて全域で定義した関数は sinc と呼ばれます。${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi$ という値を持つ関数です^[4]。

一次の近似として見る

$\frac{\sin x}{x}\to 1$ は、$0$ の近くで $\sin x$ が $x$ とほぼ等しいという意味です。

原点のまわりを拡大していくと、$y=\sin x$ の曲線と直線 $y=x$ の区別がつかなくなります。

$1-\cos x$ のほうは $\frac{x^2}{2}$ とほぼ等しい。次数が 1 つ上がるので、近づき方はもっと平らです。

導関数がここから出る

$\sin x$ の導関数を定義から出します。加法定理で $\sin (x+h)$ を開くところから始めます^[2]。

$$\begin{array}{rl}(\sin x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}\right)\end{array}$$

前の括弧が $0$、後ろが $1$ に向かいます。残るのは $\cos x$ だけ。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

$\cos x$ についても同じ手順で $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ が出ます^[2]。三角関数の微分は、この 2 つの極限だけで成り立っています。

例：微分の値として読む

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ は、$f(x)=\sin x$ の $x=0$ における微分係数そのものです。

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$$

$f^{\prime }(0)=\cos 0=1$ なので値は $1$。ただしこの読み方で証明にはできません。

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ を導くのに $\frac{\sin x}{x}\to 1$ を使っているので、循環します。

例：3 次まで見る

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$ を求めます。$\sin$ と $\tan$ の差は $x$ の 1 次では消えます。

$$\sin x-\tan x=\sin x\left(1-\frac{1}{\cos x}\right)=\frac{\sin x(\cos x-1)}{\cos x}$$

分母の $x^3$ を $x\cdot x^2$ に分けて配ります。

$$\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\cos x-1}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1=-\frac{1}{2}$$

$\tan x$ のほうがわずかに大きいので、差は負になります。

よくある誤り

分母の次数が変わると答えも変わります。

弧と弦の長さが $0$ の近くで見分けられなくなる。この一点から、三角関数の微分が全部出てきます。

参考文献