三角関数の極限公式

三角関数の極限公式

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$$

$x$ が $0$ に近づくとき $\sin x$ も同じように $0$ に収束します．

意味
$y=\sin x$ は $x=0$ の近くで一次関数 $y=x$ に近似できる．

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例

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{5x}\cdot 5\end{array}$$

$t=5x$ とすると $x\to 0$ は $t\to 0$ を意味するから

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{x}& =5\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}\\ & =5\cdot 1\\ & =5\end{array}$$

この問題は $x=0$ の近くで $y=\sin ax$ が $y=ax$ に近似できることを意味します．

$$\sin ax\sim ax$$

わかりやすく説明するために $\sim$ を使いましたが，数学の厳密な記号ではありません．
$\sim$ を $=$ とみなすと

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin ax}{x}& =\frac{ax}{x}\\ & =a\end{array}$$

となります．
$\sim$ で関数を近似すると極限の問題を解きやすくなります．

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$\frac{\tan x}{x}$ の極限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$$

だから

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}\cdot \cos x\right)\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}\right)\\ & =1\end{array}$$

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$\frac{1-\cos x}{x^2}$ の極限

$x\to 0$ で $1-\cos x$ も $x^2$ も $0$ に収束するため，
分子と分母に $1+\cos x$ をかけて不定形を回避します．

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\right)\frac{1}{1+\cos x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\frac{1}{1+\cos x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }{1}^2\frac{1}{1+\cos x}\\ & =\frac{1}{1+1}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

ルートのある分数における分母の有理化と本質的に同じです．