一次結合、一次独立、一次従属のまとめ

$n$ 個のベクトル $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ について

$c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} + \dots + c_{n} a_{n}$

をベクトル $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ の一次結合という。ここで $c_{1}, \dots, c_{n}$ は実数である。

※ベクトルの和を考えるときは必ず次元をそろえる。二次元ベクトルと三次元ベクトルを足すことはできない。次元が違うからである。

一次独立

$2$ 次元ベクトル $a_{1}, a_{2}$ について $c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} = 0$ が成り立つための必要十分条件が $c_{1} = 0, c_{2} = 0$ であるとき、 $a_{1}, a_{2}$ を一次独立という。

$c_{1} = 0, c_{2} = 0$ であれば $c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} = 0$ が成り立つことは明らかである。問題はその逆で $c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} = 0$ であれば $c_{1} = 0, c_{2} = 0$ となるとき、これらのベクトルを一次独立という。

定義だけを見ると「？」となってしまうが、一次独立とは平行でないことを意味するにすぎない。

$a_{1}, a_{2}$ が一次独立　⇔　 $a_{1}, a_{2}$ は平行でない

一次従属

$2$ 次元ベクトル $a_{1}, a_{2}$ について、少なくとも一つは $0$ でない実数 $c_{1} = 0, c_{2} = 0$ を使って $c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} = 0$ と表せるとき、 $a_{1}, a_{2}$ を一次従属という。

例えば $c_{1}$ が $0$ でない実数とすると、上の式を

$a_{1} = \frac{c _{2} a _{2}}{c _{1}}$

と変形できる。つまり $a_{1}$ と $a_{2}$ は平行である。一次従属とは平行を意味する。

$a_{1}, a_{2}$ が一次従属　⇔　 $a_{1}, a_{2}$ は平行

以上より一次独立と一次従属は真逆の概念であるとわかる。