2 次正方行列の行列式｜定義・たすき掛け・外積とのつながり

2 次の正方行列には、$ad-bc$ という数がひとつ付いてくる。これが行列式である。

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\det A=ad-bc$$

逆行列を持つかどうかも、2 本の行が平行かどうかも、この 1 つの数で決まる。2 次正方行列の和と積では成分ごとの計算を見たが、ここでは行列全体を 1 つの数に押し込める。

行列式の定義

左上と右下を掛けたものから、右上と左下を掛けたものを引く。

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

足すほうと引くほうを取り違えると、符号が反転する。$bc-ad$ はもとの値の $-1$ 倍であり、別の数になってしまう。

記号の書き方

書き方は 2 通りある。$\det A$ と書くか、行列を縦棒ではさむかである。

$$|A|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$

縦棒は絶対値と同じ形をしているが、意味は違う。行列式は負の値を取るので、$|A|=-9$ のような等式がふつうに現れる。

丸括弧でくくれば行列そのもの、縦棒ではさめばそこから作った 1 つの数を指す。書き分けを意識しておくと、あとの計算で混乱しない。

例：数を入れて計算する

$$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right|=2\times 3-1\times 4=2$$

掛け算 2 回と引き算 1 回で終わる。成分がどれも正でも、差を取るので値は小さくなりやすい。

例：負の値になる場合

$$\left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 7& 8\end{array}\right|=5\times 8-7\times 7=-9$$

引くほうが大きければ、行列式は負になる。この符号にも意味があり、あとで見る向きの話につながる。

例：文字を含む場合

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right|=a^2-b^2$$

因数分解すると $(a+b)(a-b)$ である。$a=b$ または $a=-b$ のとき 0 になり、そのとき 2 本の行は同じか、符号だけが違う関係にある。

例：負の数と分数を含む場合

$$\left|\begin{array}{cc}-2& \frac{1}{2}\\ 4& 3\end{array}\right|=(-2)\times 3-\frac{1}{2}\times 4=-8$$

負の数が入っても手順は変わらない。掛けてから引く順序を守れば、符号の取り違えは起きない。

たすき掛けとして覚える

<svg viewBox="0 0 460 210" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="26" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">右下がりの積を足し、右上がりの積を引く</text>
	<path d="M 172 56 L 164 56 L 164 162 L 172 162" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></path>
	<path d="M 288 56 L 296 56 L 296 162 L 288 162" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></path>
	<line x1="202" y1="98" x2="252" y2="126" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="258,130 248,127 251,121" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="258" y1="98" x2="208" y2="126" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="202,130 209,121 212,127" fill="#d0562a"></polygon>
	<text x="195" y="94" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a</text>
	<text x="265" y="94" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">b</text>
	<text x="195" y="144" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">c</text>
	<text x="265" y="144" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">d</text>
	<text x="312" y="122" font-size="12" fill="#1b81e0">ad を足す</text>
	<text x="76" y="122" font-size="12" fill="#d0562a">bc を引く</text>
	<text x="230" y="194" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">2 つの積の差が行列式になる</text>
</svg>

対角線を 2 本引き、右下がりの積から右上がりの積を引く。この形で覚えておけば、成分の位置を取り違えにくい。

3 次の行列式にも似た覚え方がある。ただし掛ける組が 6 通りに増えるので、そちらは別に扱う。

転置しても値は変わらない

行と列を入れ替えた行列を転置行列という。2 次では $b$ と $c$ が入れ替わるだけである。

$$\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|=ad-cb=ad-bc$$

$cb$ と $bc$ は同じ数なので、値はもとのままになる。したがって、行について成り立つ性質は列についてもそのまま成り立つ。

行を入れ替えると符号が変わる

2 本の行を入れ替えると、足す組と引く組が入れ替わる。

$$\left|\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right|=cb-da=-(ad-bc)$$

列を入れ替えたときも同じである。前節のとおり、行と列は対等に扱ってよい。

例：入れ替えて符号を確かめる

$$\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=4\times 1-3\times 2=-2$$

もとの $(2,1;4,3)$ の行列式は 2 だった。符号だけが変わり、絶対値は動いていない。

1 つの行を定数倍したとき

第 1 行を $k$ 倍すると、$ad$ も $bc$ も同じだけふくらむ。

$$\left|\begin{array}{cc}ka& kb\\ c& d\end{array}\right|=k(ad-bc)$$

行列式は各行について線形にはたらく。多重線形性と呼ばれる性質で、次数が上がっても行列式を支える柱になる。

行列全体を定数倍すると 2 乗倍になる

行が 2 本あるので、全体を $k$ 倍すれば $k$ が 2 回くくり出される。

$$\det (kA)=k^2\det A$$

$n$ 次なら $k^n$ 倍である。行列の定数倍は成分すべてに掛かるので、行列式では次数の分だけ効いてくる。

例：定数倍の効き方を数で見る

$A=(2,1;4,3)$ の行列式は 2 である。第 1 行だけを 3 倍してみる。

$$\left|\begin{array}{cc}6& 3\\ 4& 3\end{array}\right|=18-12=6$$

3 倍になった。全体を 3 倍すれば、今度は $3^2=9$ 倍の 18 になる。

$$\left|\begin{array}{cc}6& 3\\ 12& 9\end{array}\right|=54-36=18$$

一方の行に他方の何倍かを足しても変わらない

第 2 行に第 1 行の $k$ 倍を足す。増えた分は 2 本の行がそろった行列式にあたり、それは 0 になる。

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c+ka& d+kb\end{array}\right|=ad-bc$$

値が動かないので、この操作で成分に 0 を作ってから計算してよい。行基本変形で行列式を求める手順は、ここから始まる。

例：0 を作ってから計算する

$(2,1;4,3)$ の第 2 行から、第 1 行の 2 倍を引く。

$$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=2\times 1-1\times 0=2$$

左下が 0 になり、値は 2 のままである。三角形の形に整えてから対角の積を取る、という一般の手順が 2 次でも使える。

2 本の行が比例すると 0 になる

第 2 行が第 1 行の $k$ 倍だとしてみる。

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ ka& kb\end{array}\right|=kab-kab=0$$

逆に、行列式が 0 なら 2 本の行は比例する。2 次では、行列式が 0 であることと 2 本の行が平行であることが同じ意味になる。

例：比例する 2 行で確かめる

$$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right|=12-12=0$$

第 2 行は第 1 行のちょうど 2 倍である。0 の成分が 1 つもないのに、行列式は 0 になった。

例：0 が並んでいても 0 とは限らない

$$\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 0\end{array}\right|=0\times 0-2\times 3=-6$$

対角が両方とも 0 なのに、値は $-6$ である。前の例と合わせると、成分の見た目と行列式の値は結びつかないと分かる。

積の行列式は行列式の積

先に掛けてから行列式を取っても、行列式を取ってから掛けても、同じ値になる。

$$\det (AB)=\det A\cdot \det B$$

2 次なら成分で確かめられる。$B=(p,q;r,s)$ として積の行列式を展開すると、$apcq$ と $aqcp$、$brds$ と $bsdr$ が打ち消し合う。

残った 4 項をくくり直せば、ちょうど 2 つの行列式の積になる。

$$(ad-bc)(ps-qr)$$

例：積で確かめる

$A=(2,1;4,3)$ と $B=(1,2;0,5)$ を取る。行列式はそれぞれ 2 と 5 である。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 9\\ 4& 23\end{array}\right)$$

この行列式は $2\times 23-9\times 4=10$ になる。$2\times 5$ と一致した。

対角行列と三角行列

対角成分を掛けるだけで済む形がある。単位行列の行列式は 1 で、対角行列なら対角の積になる。

$$\left|\begin{array}{cc}p& 0\\ 0& q\end{array}\right|=pq$$

三角行列も同じである。$b$ か $c$ の一方が 0 なら $bc$ が消えるので、$ad$ だけが残る。

例：三角行列の行列式

$$\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 2\end{array}\right|=3\times 2-5\times 0=6$$

右上の 5 は値に関わらない。左下が 0 でありさえすれば、対角の積だけで決まる。

例：回転行列の行列式は 1

角 $\theta$ の回転を表す行列を考える。

$$\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right|={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

$-\sin \theta$ と $\sin \theta$ の積を引くので、符号が 2 度変わって足し算になる。回転は形も大きさも向きも変えないから、値が 1 になるのは見当どおりである。

外積との関係

2 本の行をベクトルと見る。$\vec{u}=(a,b)$、$\vec{v}=(c,d)$ と置けば、$ad-bc$ は平面での外積そのものである。

右手系 3 次元座標とベクトルの外積で見たように、外積の大きさは $\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \sin \theta$ で、2 本のベクトルが張る平行四辺形の面積にあたる。符号は 2 本の並び方、つまり向きを表す。

<svg viewBox="0 0 460 230" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">2 本の行が張る平行四辺形</text>
	<polygon points="110,185 245,140 290,50 155,95" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.08"></polygon>
	<line x1="70" y1="185" x2="400" y2="185" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="110" y1="215" x2="110" y2="40" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="110" y1="185" x2="245" y2="140" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="250,138 240,136 242,144" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="110" y1="185" x2="155" y2="95" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="157,90 151,99 159,102" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="245" y1="140" x2="290" y2="50" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<line x1="155" y1="95" x2="290" y2="50" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<text x="258" y="158" font-size="12" fill="#1b81e0">u = (3, 1)</text>
	<text x="132" y="82" font-size="12" fill="#1b81e0">v = (1, 2)</text>
	<text x="196" y="126" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">面積 5</text>
	<text x="230" y="214" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">符号は u から v へ回る向きを表す</text>
</svg>

図の 2 本を行に並べた行列は $(3,1;1,2)$ で、行列式は $3\times 2-1\times 1=5$ である。平行四辺形の面積と一致している。

面積や向きの読み方そのものは、行列式が表すものを扱う記事にゆずる。ここでは、行列式が外積の言い換えであることを押さえておけばよい。

例：3 次元の外積に現れる 2×2 行列式

三次元ベクトルの外積の成分表示で書き下した式を、行列式の形で読み直す。

$\vec{u}=(1,2,3)$ と $\vec{v}=(4,5,6)$ の外積を求める。第 1 成分は、$x$ 成分を落とした残りで作る行列式である。

$$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|=12-15=-3$$

第 2 成分は $y$ 成分を落として作り、符号を反転させて $-(1\times 6-3\times 4)=6$ となる。第 3 成分は $1\times 5-2\times 4=-3$ である。

外積は $(-3,6,-3)$ になった。3 次元の計算が、2 次の行列式 3 つに分かれている。

行列式が 0 のときに起きること

行列式が 0 なら 2 本の行は平行で、その行列は逆行列を持たない。連立方程式として読めば、解がないか、無数にあるかのどちらかになる。

逆行列の公式では $ad-bc$ で割ることになる。0 で割れないことが、逆行列を作れないことに直結している。

くわしくは 2 次正方行列の逆行列と 2 次正方行列と 2 次元ベクトルの積で扱う。行列式は、その判定を 1 つの数にまとめたものだと見ればよい。

他の話題とのつながり

3 次以上でも行列式は定義できる。ただし掛ける組が増えるので、たすき掛けの拡張や余因子展開といった手順が要る。

連立方程式を行列式だけで書き下す公式もある。クラメルの公式と呼ばれ、2 次では分母がちょうど $ad-bc$ になる。

行列式が 0 でないことは、2 本の行がそろっていないことでもある。この見方は、あとでベクトルの一次独立を学ぶときにそのまま生きる。

よくある誤り

参考文献