2×2行列（2次正方行列）の行列式の定義と意味（行列と外積の関係）

正方行列には行列式という値を定義できる。後述のとおり行列式とは一種の「面積」である。

行列式

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

の行列式 $|A|$ を次のように定義する。

$$|A|=ad-bc$$

行列式は実数の絶対値と同じ記号を使うが、detという記号を使う（ $\det (A)$ あるいは $\det A$ など）専門書もある。

行列のように書く場合は

$$|A|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$

のように、カッコの代わりに棒を使う。

行列式の計算例

$$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right|=2\times 3-1\times 4=2$$

$$\left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 7& 8\end{array}\right|=5\times 8-7\times 7=-9$$

$$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1\times 1-0\times 0=1$$

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}\cos 30^{\circ }& -\sin 30^{\circ }\\ \sin 30^{\circ }& \cos 30^{\circ }\end{array}\right|= \\ (\cos 30^{\circ }{)}^2+(\sin 30^{\circ }{)}^2=1 \end{gathered}$$

行列式の意味

もう一度行列式の定義に戻る。

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

ここで

$$\begin{gathered} \vec{x}=(a,b) \\ \vec{y}=(c,d) \end{gathered}$$

とすると

$$|A|=ad-bc=\vec{x}\times \vec{y}$$

となる。つまり行列の行列式とは、行列を行ごとに分解してできるベクトルの外積である。ベクトルの外積の定義と公式にあるように、外積は二つのベクトルがなす平行四辺形の面積を意味する。

ポイント

行列の行列式とは、行列の各行がつくる平行四辺形の面積のことである。