2×2行列（2次正方行列）の行列式の定義と意味（行列と外積の関係）

正方行列には行列式という値を定義できる。後述のとおり行列式とは一種の「面積」である。

行列式

$A = (a c b d)$

の行列式 $∣ A ∣$ を次のように定義する。

$∣ A ∣ = a d - b c$

行列式は実数の絶対値と同じ記号を使うが、detという記号を使う（ $det (A)$ あるいは $det A$ など）専門書もある。

行列のように書く場合は

$∣ A ∣ = a c b d$

のように、カッコの代わりに棒を使う。

$2413 = 2 \times 3 - 1 \times 4 = 2$

$5778 = 5 \times 8 - 7 \times 7 = - 9$

$1001 = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1$

$cos 3 0^{\circ} sin 3 0^{\circ} - sin 3 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} = (cos 3 0^{\circ})^{2} + (sin 3 0^{\circ})^{2} = 1$

もう一度行列式の定義に戻る。

$a c b d = a d - b c$

ここで

$x = (a, b) y = (c, d)$

とすると

$∣ A ∣ = a d - b c = x \times y$

となる。つまり行列の行列式とは、行列を行ごとに分解してできるベクトルの外積である。ベクトルの外積の定義と公式にあるように、外積は二つのベクトルがなす平行四辺形の面積を意味する。

行列の行列式とは、行列の各行がつくる平行四辺形の面積のことである。