4 つの平方の和は因数分解できる？四元数まで広げてみる

$2$ つの平方の和なら、複素数を使って分解できます。

$a^{2} + b^{2} = (a + bi) (a - bi)$

$4$ つになると、この手が使えない。 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ は複素数の範囲でも $1$ 次式の積になりません。

ハミルトンは数のほうを広げました。虚数単位を $3$ つ用意した四元数の中で、この式はきれいに $2$ つの因子へ分かれます。

複素数では届かない理由

$2$ 次形式が $1$ 次式 $2$ つの積になるのは、階数が $2$ 以下のときだけです。 $a^{2} + b^{2}$ は $2$ 変数で階数 $2$ なので、ぎりぎり分解できる。

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ の階数は $4$ です。 $1$ 次式の積に書ければ階数が $2$ 以下になるはずで、そうならない以上、複素数をどれだけ使っても分解できません。

打つ手は $2$ つ。分解をあきらめるか、係数の住む世界そのものを広げるか。ハミルトンは後者をとりました。

四元数

$1843$ 年 $10$ 月 $16$ 日、ハミルトンはダブリンの運河沿いを歩いていて関係式を思いつき、ブルーム橋に刻みました^[1]。

$i^{2} = j^{2} = k^{2} = ij k = - 1$

ここから積の規則が全部出る^[1,2]。

ij = k

、

j k = i

、

k i = j

。

j i = - k

、

k j = - i

、

ik = - j

。

順番を入れ替えると符号が反転する。四元数の積は可換ではありません^[2,3]。

$i$ 、 $j$ 、 $k$ をこの順に円へ並べると、矢印の向きが積の向きになる。逆にたどれば符号が付く、という覚え方ができる。

共役とノルム

$q = a + bi + c j + d k$ に対して、虚部の符号を全部変えたものを共役と呼ぶ^[1,2]。

$\overset{q}{ˉ} = a - bi - c j - d k$

ノルムは $4$ つの係数の平方和です^[2,3]。

$N (q) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$

この $2$ つが、探していた分解をそのまま与える。

分解を計算する

$q \overset{q}{ˉ}$ を展開します。 $a$ は実数なので $i, j, k$ と可換で、 $1$ 次の項が打ち消し合う。

$q \overset{q}{ˉ} = a^{2} - (bi + c j + d k)^{2}$

残った $2$ 乗を開く。交差項は $ij + j i = 0$ のように対で消えるので、平方の項だけが残る。

$(bi + c j + d k)^{2} = - b^{2} - c^{2} - d^{2}$

代入すれば目当ての式になる。

$(a + bi + c j + d k) (a - bi - c j - d k) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$

$2$ 次形式が $2$ つの $1$ 次式に分かれました。ただし、この $2$ つは可換でない環の中に住んでいます。

実数係数の多項式環の中での因数分解ではありません。掛ける順序を入れ替えても同じ答えになる理由は、 $q$ と $\overset{q}{ˉ}$ が互いに共役だから。

ノルムは積を保つ

四元数のノルムには、もっと強い性質があります^[1,3]。

$N (pq) = N (p) N (q)$

平方和どうしを掛けても、平方和のまま。 $4$ つの数の組が別の $4$ つの数の組に移るだけです。

証明は $N (q) = q \overset{q}{ˉ}$ と $\overline{pq} = \overset{q}{ˉ} \overset{p}{ˉ}$ を使うだけです。

$N (pq) = pq \overline{pq} = pq \overset{q}{ˉ} \overset{p}{ˉ} = pN (q) \overset{p}{ˉ} = N (p) N (q)$

$N (q)$ は実数なので、途中で $p$ とすり抜けられる。可換でない環なのに、実数だけは自由に動ける。

オイラーの四平方恒等式

ノルムの乗法性を係数で書き下すと、次の形になります^[4]。

$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) = c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} + c_{4}^{2}$

右辺の $c_{i}$ は、 $a$ と $b$ の双線型式です。

$c_{1} c_{2} c_{3} c_{4} = a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4} = a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3} = a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2} = a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1}$

オイラーがゴルトバッハ宛の $1748$ 年 $5$ 月 $4$ 日の手紙に書いている^[4]。四元数が生まれる $95$ 年前の話です。

$2$ 平方の版は、さらに古い。ディオファントスにあり、ブラフマグプタが $7$ 世紀に一般化し、フィボナッチが $1225$ 年にヨーロッパへ持ち込みました^[6]。

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

こちらは複素数の絶対値が積を保つことの言いかえです^[6]。 $2$ 平方には複素数、 $4$ 平方には四元数、という対応になる。

ラグランジュの四平方定理

どんな非負整数も、 $4$ つの平方数の和で書けます^[5]。ラグランジュが $1770$ 年に示した定理。

証明にオイラーの恒等式が効く。素数について示せば、あとは恒等式を繰り返して合成数へ運べるためです^[5]。

四元数を使う道もある。成分が整数か半整数の四元数を集めたフルヴィッツ四元数の中で、奇素数が自明でない分解を持つことを示す^[5]。

$4$ つ必要になるのは限られた数だけです。ルジャンドルの三平方定理により、 $4^{k} (8 m + 7)$ の形をした数以外は $3$ つで足りる^[5]。

$7$ が最初の例。 $7 = 4 + 1 + 1 + 1$ で、 $3$ つの平方では届きません。

$1, 2, 4, 8$ でしか成り立たない

同じ形の恒等式は、どの次元でも作れるわけではありません。 $n$ 平方の積が $n$ 平方になる双線型の恒等式は、 $n = 1, 2, 4, 8$ に限る^[4]。

フルヴィッツの定理と呼ばれます。 $1$ は実数、 $2$ は複素数、 $4$ は四元数、 $8$ は八元数に対応する。

$8$ まで行くと結合則が落ちる。広げれば広げるほど、何かを手放すことになる。

四元数はどんな環か

四元数全体 $H$ は、 $0$ でない元がすべて逆元を持ちます^[3]。逆元は共役をノルムで割った形。

$q^{- 1} = \frac{q ˉ}{N ( q )}$

可換でないので体とは呼びません。斜体、あるいは非可換体と呼ぶ^[2,3]。

実数上の $4$ 次元の代数で、しかも結合的です。フロベニウスの定理により、実数上の有限次元で結合的な可除代数は $R$ 、 $C$ 、 $H$ の $3$ つしかありません^[1]。

可換環論の道具はここでは直接使えません。それでも、平方和の分解という一点では、可換な世界を出た効果がはっきり出る。

回転への応用

絶対値 $1$ の四元数は、共役をとる操作で $3$ 次元空間の回転を表す^[3]。ジンバルロックが起きない表現として、いまも使われています。

回転の合成が四元数の積になる。 $3$ 次元の回転が可換でないことと、四元数の積が可換でないことが、そのまま重なる。

誰が最初だったか

ハミルトンの $1843$ 年がよく知られています。ただしドイツ語版の記述では、ロドリゲスが $1840$ 年に独立に到達し、ガウスは $1819$ 年に同じ積を書いていたとされます^[2]。

平方和の恒等式そのものは、さらに $1$ 世紀前のオイラーにある。四元数は、先にあった計算に構造を与えた発見だった、という見方もできる。

よくある誤り

実数係数の多項式としての因数分解ではありません。因子が住むのは可換でない環です。

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}

を複素数で分解しようとしても届きません。階数が

4

あるためです。

四元数の積は可換ではありません。

ij

と

j i

で符号が変わります。

ノルムの乗法性は自明ではありません。可換でない環で成り立つところに中身があります。

四平方定理は「ちょうど

4

つ要る」という主張ではありません。

4

つ以内で足りる、という主張です。

同じ恒等式が

3

平方や

16

平方でも作れると考えると外します。

1, 2, 4, 8

に限られます。

八元数まで進めば結合則も残る、とはなりません。

8

次元では結合則が落ちます。

参考文献

Quaternion（英語版 Wikipedia）

Quaternion（ドイツ語版 Wikipedia）

Quaternion（フランス語版 Wikipedia）

Euler's four-square identity（英語版 Wikipedia）

Lagrange's four-square theorem（英語版 Wikipedia）

Brahmagupta–Fibonacci identity（英語版 Wikipedia）

2 つの平方の和なら複素数で分解できます。4 つになると届かない。階数が 4 あるためです。ハミルトンが虚数単位を 3 つに増やした四元数の中でなら、共役を掛けるだけで分解が出ます。ノルムの乗法性がオイラーの四平方恒等式そのものであること、ラグランジュの四平方定理への効き方、同じ恒等式が 1, 2, 4, 8 でしか作れない理由まで。