ハミルトンの4元数とa²+b²+c²+d²の因数分解

ハミルトンの功績の一つに

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$

の因数分解がある。これは実数はもちろん、複素数を使っても因数分解できない。

そこでハミルトンの四元数を次のように定義する。これはいわば複素数の「すごい版」である。

$i, j,, k$ を次のように定義する。

$i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1 ij = - j i = k j k = - k j = i k i = - ik = j$

1, i, j,, k

をハミルトンの四元数という。

最初の式 $i^{2} = - 1$ からハミルトンの四元数は複素数の拡張であるとわかる。ハミルトンは複素数の $i$ のようなものを $3$ つ定義し、複素数という世界より「広い世界」を作り、そこで上の二次式を因数分解した。

上で定義した $i, j,, k$ を使うと

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = (a + bi + c j + d k) (a - bi - c j - d k)$

と因数分解される。

ハミルトンの四元数による因数分解の証明

$(a + bi + c j + d k) (a - bi - c j - d k) = a^{2} - abi - a c i - a d k + bia - bibi - bi c j - bi d k + c j a - c j bi - c j c j - c j d k + d k a - d k bi - d k c j - d k d k = a^{2} - abi - a c i - a d k + abi + b^{2} - b c k + b d j + a c j + b c k + c^{2} - c d i + a d k - b d j + c d i + d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$