ハミルトンの功績の一つに
の因数分解がある。これは実数はもちろん、複素数を使っても因数分解できない。
そこでハミルトンの四元数を次のように定義する。これはいわば複素数の「すごい版」である。
を次のように定義する。
をハミルトンの四元数という。
最初の式 
からハミルトンの四元数は複素数の拡張であるとわかる。ハミルトンは複素数の 
のようなものを 
つ定義し、複素数という世界より「広い世界」を作り、そこで上の二次式を因数分解した。
上で定義した 
を使うと
と因数分解される。
ハミルトンの四元数による因数分解の証明
