ハミルトンの功績の一つに
a2+b2+c2+d2
の因数分解がある。これは実数はもちろん、複素数を使っても因数分解できない。
そこでハミルトンの四元数を次のように定義する。これはいわば複素数の「すごい版」である。
i, j, ,k を次のように定義する。
i2=j2=k2=−1ij=−ji=kjk=−kj=iki=−ik=j
1, i, j, ,k をハミルトンの四元数という。
最初の式 i2=−1 からハミルトンの四元数は複素数の拡張であるとわかる。ハミルトンは複素数の i のようなものを 3 つ定義し、複素数という世界より「広い世界」を作り、そこで上の二次式を因数分解した。
上で定義した i, j, ,k を使うと
a2+b2+c2+d2=(a+bi+cj+dk)(a−bi−cj−dk)
と因数分解される。
ハミルトンの四元数による因数分解の証明
(a+bi+cj+dk)(a−bi−cj−dk)=a2−abi−aci−adk+bia−bibi−bicj−bidk+cja−cjbi−cjcj−cjdk+dka−dkbi−dkcj−dkdk=a2−abi−aci−adk+abi+b2−bck+bdj+acj+bck+c2−cdi+adk−bdj+cdi+d2=a2+b2+c2+d2
