指数関数の方程式と不等式（解き方と計算問題）

指数関数の方程式はべきを比べて解きます。$3^x=9$ は $3^x=3^2$ として、べきを比べて $x=2$ とします。

指数関数の不等式もべきを比べて解きますが、指数関数の底（$a^x$ でいう $a$）が $1$ より大きいか小さいかで、不等号の向きが変わります。

$$\begin{gathered} 2^x\geqq 2^3\to x\geqq 3 \\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^x\geqq {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\to x\leqq 3 \end{gathered}$$

底が $1$ より大きいときはそのまま、底が $1$ より小さいときは反対にする。

問題

$$\begin{gathered} (1)2^x=8 \\ (2)2^x=32 \\ (3)3^x=27 \\ (4)5^x=125 \\ (5)2^x=\frac{1}{4} \\ (6)3^x=\frac{1}{9} \\ (7)7^x=1 \end{gathered}$$

解答

$$\begin{gathered} (1)3 \\ (2)5 \\ (3)3 \\ (4)3 \\ (5)-2 \\ (6)-2 \\ (7)0 \end{gathered}$$

問題

$$\begin{gathered} (1)2^x\ge 64 \\ (2)3^x\ge 81 \\ (3)4^x\le 16 \\ (4)7^x\le 1 \end{gathered}$$

解答

$$\begin{gathered} (1)x\ge 6 \\ (2)x\ge 4 \\ (3)x\le 2 \\ (4)x\le 0 \end{gathered}$$

問題

$$\begin{gathered} (1){\left(\frac{1}{2}\right)}^x=\frac{1}{4} \\ (2){\left(\frac{1}{2}\right)}^x=\frac{1}{8} \\ (3){\left(\frac{1}{2}\right)}^x=4 \\ (4){\left(\frac{1}{2}\right)}^x=1 \\ (5){\left(\frac{1}{3}\right)}^x=\frac{1}{81} \\ (6){\left(\frac{1}{3}\right)}^x=27 \\ (7){\left(\frac{1}{3}\right)}^x=1 \end{gathered}$$

解答

$$\begin{gathered} (1)x=2 \\ (2)x=3 \\ (3)x=-2 \\ (4)x=0 \\ (5)x=4 \\ (6)x=-3 \\ (7)x=0 \end{gathered}$$

問題

$$\begin{gathered} (1)2^{2x-1}=32 \\ (2)2^{3x+2}=\frac{1}{2} \\ (3)3^{-x+4}=9 \\ (4){\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+1}=\frac{1}{16} \\ (5){\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2x+1}=27 \\ (6){\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-3}=\frac{1}{125} \end{gathered}$$

解答

$$(1)x=3(2)x=-1(3)x=2(4)x=3(5)x=2(6)x=6$$

応用問題

$$\begin{gathered} (1){\left(2^x\right)}^2-3\cdot 2^x-4=0 \\ (2){\left(3^x\right)}^2-12\cdot 3^x+27=0 \end{gathered}$$

解答

(1) 2^x = X とおくと

X² - 3X - 4 = 0
(X - 4)(X + 1) = 0
X = -1, 4
2^x = -1, 4

となる。2^x は 0 より大きいから 2^{x} = 4 であり x = 2 となる。

(2) 3^x = X とおくと

X² - 12X + 27 = 0
(X - 3)(X - 9) = 0
X = 3, 9

となる。x = 1, 2 である。