指数方程式と指数不等式の解き方、底をそろえて指数を比べる

$2^{x} = 8$ の答えが $3$ だけに決まるのは、 $2$ を何乗しても同じ値が二度は現れないからです。

$2^{1} = 2$ 、 $2^{2} = 4$ 、 $2^{3} = 8$ 、 $2^{4} = 16$ 。値はすべて違う。だから $8$ にたどり着く指数は 1 つしかない。

この性質を 1 対 1 と呼びます^[1]。両辺を同じ底の累乗にそろえた瞬間、指数だけを見て比べられる。

$a^{p} = a^{q} ⟺ p = q$

不等式でも手順は変わりません。ただし比べる向きが 1 つ増える。底が $1$ より小さいと、不等号がひっくり返ります。

両辺を同じ底にそろえる

$2^{3 x} = 1 6^{1 - x}$ を解きます。 $16 = 2^{4}$ なので、右辺は $2^{4 (1 - x)}$ と書き直せる。

$2^{3 x} = 2^{4 (1 - x)}$

指数を比べて $3 x = 4 - 4 x$ 。移項すると $7 x = 4$ で、答えは $x = \frac{4}{7}$ です^[1]。

$6 4^{x} = 16$ も同じ流れ。 $64 = 2^{6}$ 、 $16 = 2^{4}$ だから $2^{6 x} = 2^{4}$ になり、 $6 x = 4$ から $x = \frac{2}{3}$ ^[3]。

そろえる先が $2$ とは限りません。 $9^{x} = 27$ なら底を $3$ にとって $3^{2 x} = 3^{3}$ 、 $x = \frac{3}{2}$ です。

出てくる数を素因数分解して共通の底を探す。指数方程式の最初の一手はここになります。

$y$ の値は正の側にしか出ません。だから $2^{x} = - 4$ のような式には解がない^[4]。

底が $1$ より小さいと向きが変わる

不等式で指数を比べるときは、底がどちらの側にあるかを先に見ます。

底が

1

より大きいとき

$a^{p} < a^{q}$ なら $p < q$ 。不等号の向きはそのまま指数へ移る

底が

0

と

1

のあいだのとき

$a^{p} < a^{q}$ なら $p > q$ 。不等号の向きが入れかわる

理由は増減にあります。 $a > 1$ なら $a^{x}$ は増える一方で、 $0 < a < 1$ なら減る一方^[2]。

減る関数では、指数が大きいほど値は小さい。値の大小をたどり直すと、指数の側では向きが逆になります。

例：底が $1$ より大きい不等式

$2^{x - 1} ≧ 32$ を解きます。 $32 = 2^{5}$ なので、両辺とも底が $2$ です。

$2^{x - 1} ≧ 2^{5}$

底は $1$ より大きいので、向きはそのまま。 $x - 1 ≧ 5$ から $x ≧ 6$ が答えになります。

$4^{x} < 8$ なら底を $2$ にそろえて $2^{2 x} < 2^{3}$ 、 $2 x < 3$ 、 $x < \frac{3}{2}$ 。

例：底が $1$ より小さい不等式

$(\frac{1}{3})^{2 x - 1} > \frac{1}{27}$ を解きます。 $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^{3}$ です。

$(\frac{1}{3})^{2 x - 1} > (\frac{1}{3})^{3}$

ここで向きが入れかわる。 $2 x - 1 < 3$ となり、 $2 x < 4$ から $x < 2$ です。

底を $3$ にそろえ直しても同じ答えが出ます。 $3^{- (2 x - 1)} > 3^{- 3}$ から $- (2 x - 1) > - 3$ 、やはり $x < 2$ 。

底をそろえる先を $1$ より大きい数に選べば、向きの入れかえは 1 回で済みます。

$p < q$ を動かさないまま、 $a^{p}$ と $a^{q}$ の上下だけが入れかわります。不等号の向きが変わるのは、これが理由です。

例：置きかえて二次方程式にする

$4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ を解きます。 $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ と見るのが出発点。

$t = 2^{x}$ と置くと $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ になり、 $(t - 4) (t + 1) = 0$ から $t = 4$ または $t = - 1$ です。

ここで $t$ には条件があります。 $2^{x}$ はいつでも正なので $t > 0$ ^[2]。 $t = - 1$ は捨てます。

残った $2^{x} = 4$ から $x = 2$ 。置きかえた変数の範囲を書き出しておかないと、この判断ができません。

例：指数に二次式が入る

$2^{x^{2} - 3 x} ≧ 16$ を解きます。 $16 = 2^{4}$ なので、底はそろっています。

底が $1$ より大きいから向きはそのまま。 $x^{2} - 3 x ≧ 4$ という二次不等式に変わります。

$x^{2} - 3 x - 4 ≧ 0$

$(x - 4) (x + 1) ≧ 0$ から $x ≦ - 1$ または $x ≧ 4$ です^[1]。

指数の部分がどんな式でも、底さえそろえば中身どうしの比較になる。そこから先は指数と関係ない問題になります。

例：どうしてもそろわないとき

$3^{x^{2} - 5} = 8^{x}$ は、 $3$ と $8$ に共通の底がありません。こういうときは両辺の対数をとります^[3]。

$(x^{2} - 5) lo g_{10} 3 = x lo g_{10} 8$

$lo g_{10} 3$ と $lo g_{10} 8$ は決まった数なので、これは $x$ の二次方程式です。係数が汚いだけで、形は見慣れたもの。

底をそろえる道が消えたら対数へ回す。この二段構えを持っておくと、手が止まりません。

例：2 つの式を組にする

$2^{x + y} = 32$ と $2^{x - y} = 2$ を同時に満たす $x$ 、 $y$ を探します。

どちらも底が $2$ なので、指数だけの式に落ちる。 $x + y = 5$ と $x - y = 1$ です。

足して $2 x = 6$ から $x = 3$ 、戻して $y = 2$ 。指数の連立方程式は、ふつうの連立方程式に落ちます。

$(\frac{1}{2})^{3 x} ≦ \frac{1}{8}$ の解はどれですか。

$x ≧ 1$
$x ≦ 1$
$x ≧ - 1$

__RESULT__

$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ なので、両辺の底は $\frac{1}{2}$ でそろいます。底が $1$ より小さいため向きが入れかわり、 $3 x ≧ 3$ から $x ≧ 1$ です。

$9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ の解はどれですか。

$x = 1$ のみ
$x = 0$ と $x = 1$
解はない

__RESULT__

$t = 3^{x}$ と置くと $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ から $t = 1$ 、 $t = 3$ です。どちらも正なので $t > 0$ の条件を満たし、 $3^{x} = 1$ から $x = 0$ 、 $3^{x} = 3$ から $x = 1$ が得られます。

底をそろえる、向きを決める、置きかえの範囲を書く。指数の方程式と不等式は、この 3 つでほとんど片づきます。

参考文献

Exponential Equations and Inequalities/06%3A_Exponential_and_Logarithmic_Functions/6.03%3A_Exponential_Equations_and_Inequalities). Stitz C, Zeager J. Precalculus, Mathematics LibreTexts.

Exponential function. Encyclopedia of Mathematics.

Lösen von Exponentialgleichungen. Duden Learnattack, Schülerlexikon Mathematik Abitur.

Graphs of Exponential Functions. College Algebra 2e, OpenStax.

$2^{3x} = 16^{1-x}$ は、$16$ を $2^{4}$ に直した時点で $3x = 4(1-x)$ に変わります。同じ数を何乗しても値が二度は現れないので、底さえそろえば指数どうしを比べられる。不等式ではもう一つ分かれ道があり、底が $1$ より小さいと向きが入れかわります。$4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ のような置きかえでは、$t > 0$ を書き落とすと解が 1 つ増える。指数に二次式が入る形、共通の底がなく対数へ回す形、連立になる形まで。