Drücke im Drehungs-Panel r oder s und das Vieleck bewegt sich: r dreht es um eine Ecke weiter, r' dreht zurück, s spiegelt es. Wähle im Zugfolgen-Panel eine Zugfolge: sie beginnt beim nummerierten Vieleck und wiederholt sich, und dabei werden die Durchläufe bis zur Rückkehr der Nummern gezählt. Im Anzeige-Panel lässt sich die Eckenzahl vom Dreieck bis zum Zwölfeck ändern.
Die Bewegungen, die ein regelmäßiges Vieleck auf sich selbst legen, bilden eine Gruppe, die Diedergruppe. Führt man eine Bewegung und dann noch eine aus, ist das Ergebnis wieder eine solche Bewegung, es gibt einen Zug, der nichts tut, zu jedem Zug gibt es einen anderen, der ihn rückgängig macht, und wenn drei Züge aufeinander folgen, ist es gleich, welches Paar man zuerst liest. Das ist die ganze Definition einer Gruppe, und hier ist jede ihrer Zeilen etwas, das man drücken kann.
Zwei Züge genügen, um alle zu bauen. Um eine Ecke weiterdrehen ist r, an der Achse durch Ecke 0 spiegeln ist s, und diese beiden sind die Erzeuger. Zurückdrehen ist kein dritter Zug: r' ist r, n minus einmal ausgeführt. Bei einer Figur mit n Ecken gibt es n Drehungen und n Spiegelungen, die Gruppe hat also 2n Elemente, und die Anzeige zählt sie für die Figur, die gerade zu sehen ist.
Wähle eine Zugfolge und wiederhole sie, und die Nummern kehren immer an ihren Ausgangsplatz zurück. Die Zahl der Durchläufe ist die Ordnung dieses Elements. Nur Drehen braucht n Durchläufe, ein Sechseck kommt also nach 6 zurück und ein Siebeneck nach 7, während jede einzelne Spiegelung nach 2 zurückkommt. Das liegt nicht an den Vielecken: in jeder endlichen Gruppe muss die Wiederholung eines Elements irgendwann zum Anfang zurückführen.
Erst drehen und dann spiegeln und erst spiegeln und dann drehen sind verschiedene Züge. Beide legen die Figur wieder auf sich selbst, beide kommen nach zwei Durchläufen zurück, und doch schicken sie Ecke 1 an verschiedene Plätze. Verfolge die Nummern, dann siehst du es. Genau das heißt, dass eine Gruppe nicht kommutativ ist, und darum muss die Reihenfolge der Züge festgehalten werden und darf nicht vertauscht werden. Eine Spiegelung dreht eine Drehung um: s r s ist r' und nicht r.
Ein Kommutator ist ein Zug, ein zweiter Zug, der erste rückgängig, der zweite rückgängig. Würden die beiden Züge einander nicht stören, würden sich die vier gegenseitig aufheben und nichts geschähe. Hier schreibt man ihn r s r' s, denn eine Spiegelung hebt sich selbst auf und braucht kein eigenes Zeichen. Übrig bleibt eine Drehung, r zweimal, und genau so weit weichen die beiden Züge vom Vertauschen ab. Beim Dreieck ist diese Drehung ein Drittel einer vollen Umdrehung, und dreimal ausgeführt bringt sie die Nummern nach Hause.
Nimmt man nur die Drehungen, so hat man eine Gruppe in der Gruppe, eine Untergruppe, und zwar die zyklische Gruppe: ein Zug, n-mal wiederholt. Die andere Hälfte sind die Spiegelungen, und jede von ihnen ist ihr eigenes Inverses. Dieselben zwei Hälften treten in der Symmetrie von Parkettierungen und Kristallen wieder auf, und wie sich ein Zauberwürfel verhält, ist dieselbe Überlegung an einer größeren Gruppe.