Drücke im Drehungs-Panel U oder R', und diese Fläche dreht sich. Wähle im Zugfolgen-Panel eine Zugfolge: sie beginnt beim gelösten Würfel und wiederholt sich, und dabei werden die Durchläufe bis zur Rückkehr gezählt. Ziehe am Würfel, um ihn zu drehen, und nutze das Mausrad, um näher heranzugehen.
Die Drehungen des Zauberwürfels bilden eine Gruppe. Führt man eine Drehung und dann noch eine aus, ist das Ergebnis wieder eine Drehung des Würfels, es gibt einen Zug, der nichts tut, zu jedem Zug gibt es einen anderen, der ihn rückgängig macht, und wenn drei Züge aufeinander folgen, ist es gleich, welches Paar man zuerst liest. Das ist die ganze Definition einer Gruppe, und hier ist jede ihrer Zeilen etwas, das man drücken kann.
Die sechs Flächendrehungen sind die Erzeuger. Wie verdreht der Würfel auch aussieht, dieser Zustand wurde aus diesen sechs Zügen gebaut, und mit ihnen lässt er sich auch wieder auseinandernehmen. Die Gegendrehungen kommen nicht hinzu: U' ist nur dreimal U.
Wähle eine Zugfolge und wiederhole sie, und der Würfel kehrt immer in den gelösten Zustand zurück. Die Zahl der Durchläufe ist die Ordnung dieses Elements. U allein kommt nach 4 zurück, und R U, nur zwei Flächen im Wechsel, braucht 105. Das liegt nicht am Würfel: in jeder endlichen Gruppe muss die Wiederholung eines Elements irgendwann zum Anfang zurückführen. Am längsten braucht hier eine Zugfolge 1260 Durchläufe, und R U2 D' B D' ist eine davon.
Ein Kommutator ist ein Zug, ein zweiter Zug, der erste rückgängig, der zweite rückgängig. Würden die beiden Züge einander nicht stören, würden sich die vier gegenseitig aufheben und nichts geschähe. Sie stören einander, also bleibt ein wenig übrig, und wie wenig, darauf kommt es an: R U R' D R U' R' D' bewegt nur drei Steine. Einen kleinen Teil stören zu können, ohne den Rest durcheinanderzubringen, macht Lösungsverfahren überhaupt erst möglich.
Die Gruppe hat 43.252.003.274.489.856.000 Elemente. Acht Ecken lassen sich auf 8! Weisen anordnen und zwölf Kanten auf 12!, die Eckendrehungen geben 3 hoch 7 und die Kantenwendungen 2 hoch 11, und das Produkt wird halbiert. Die Exponenten sind 7 und 11 statt 8 und 12, weil die Verdrehungen zusammen ein Vielfaches von drei ergeben müssen und die gewendeten Kanten in Paaren auftreten. Das Halbieren am Schluss ist die Paritätsregel: Ecken und Kanten werden immer mit derselben Parität vertauscht. Nimmt man einen Würfel auseinander und setzt ihn zufällig wieder zusammen, ist nur eine von zwölf Stellungen lösbar.
Mischen führt zwanzig zufällig gewählte Drehungen aus. Ein Löser fehlt hier mit Absicht. Diese Seite handelt nicht davon, wie man einen Würfel löst, sondern davon, was die Züge sind: Elemente einer endlichen Gruppe, jedes mit einer Ordnung, jedes umkehrbar, und alle aus sechs Drehungen gebaut.