Pulsa r o s en el panel de giros y el polígono se mueve: r lo gira un vértice, r' lo gira al revés, s lo refleja. Elige una secuencia en el panel de secuencias: empieza desde el polígono numerado y se repite, contando las vueltas hasta que los números vuelven. El panel de visualización cambia el número de lados, del triángulo al dodecágono.
Los movimientos que llevan un polígono regular sobre sí mismo forman un grupo, el grupo diédrico. Haz un movimiento y luego otro y el resultado vuelve a ser un movimiento de esos, hay un movimiento que no hace nada, todo movimiento tiene otro que lo deshace, y cuando tres movimientos se siguen no importa qué par leas primero. Esa es toda la definición de grupo, y aquí cada una de sus líneas es algo que puedes pulsar.
Con dos movimientos basta para construirlos todos. Girar un vértice es r, reflejar en el eje que pasa por el vértice 0 es s, y esos dos son los generadores. Girar al revés no es un tercer movimiento: r' es r hecho n menos una veces. Para una figura de n lados hay n giros y n reflexiones, así que el grupo tiene 2n elementos, y la lectura los cuenta para la figura que estás viendo.
Elige una secuencia y repítela y los números siempre vuelven a donde empezaron. El número de vueltas que tarda es el orden de ese elemento. Girar solo tarda n vueltas, así que un hexágono vuelve en 6 y un heptágono en 7, mientras que cualquier reflexión vuelve en 2. Nada de los polígonos hace que esto ocurra: en cualquier grupo finito, repetir un elemento tiene que volver al principio tarde o temprano.
Girar y luego reflejar, y reflejar y luego girar, son movimientos distintos. Los dos devuelven la figura sobre sí misma, los dos vuelven en dos vueltas, y aun así llevan el vértice 1 a sitios distintos. Sigue los números y lo verás. Eso es lo que significa que un grupo no sea conmutativo, y es la razón por la que el orden de los movimientos hay que anotarlo y no se puede reordenar. Una reflexión invierte un giro: s r s es r' y no r.
Un conmutador es un movimiento, otro movimiento, el primero deshecho, el segundo deshecho. Si los dos movimientos no se estorbaran, los cuatro se cancelarían y no pasaría nada. Aquí se escribe r s r' s, porque una reflexión se deshace a sí misma y no necesita marca propia. Lo que queda es un giro, r dos veces, que es exactamente cuánto les falta a los dos movimientos para conmutar. En un triángulo ese giro es un tercio de vuelta, y repetirlo tres veces devuelve los números a casa.
Toma solo los giros y tendrás un grupo dentro del grupo, un subgrupo, y es el grupo cíclico: un movimiento repetido n veces. Las reflexiones son la otra mitad, y cada una es su propia inversa. Esas mismas dos mitades reaparecen en la simetría de los mosaicos y los cristales, y el comportamiento del cubo de Rubik es este mismo razonamiento sobre un grupo más grande.