Un lazo en la circunferencia queda determinado por un solo entero, el número de vueltas que da. En el toro hacen falta dos enteros, y en la figura de ocho una palabra escrita con dos letras. El grupo que forman esos enteros o palabras es el grupo fundamental del espacio [3].
Para un espacio con punto base , el grupo fundamental es el conjunto de clases de homotopía de lazos que empiezan y terminan en , con el producto dado por recorrer un lazo tras otro [3]. Si es conexo por caminos, el grupo no depende del punto base y se escribe simplemente .
Tres herramientas bastan para los cálculos que siguen: levantar caminos a un espacio recubridor, separar un producto en sus factores y el teorema de van Kampen para espacios pegados a partir de trozos.
Sea un recubrimiento: cada punto de tiene un entorno cuya preimagen es una unión disjunta de abiertos, cada uno llevado por de forma homeomorfa sobre él [1].
Hacen falta dos propiedades [1,2]. Un camino que empieza en tiene exactamente un levantamiento que empieza en un punto elegido , y una homotopía de caminos que empieza en tiene exactamente un levantamiento que empieza en .
Las dos se demuestran igual. Se cubre con abiertos uniformemente cubiertos, se corta el intervalo en trozos pequeños y se levanta un trozo cada vez. El intervalo es compacto, así que bastan finitos trozos [1].
Tomemos , , un recubrimiento con [1]. Levantamos un lazo en al camino que empieza en 0. Su final está sobre , así que termina en un entero .
El lazo se levanta a . Los dos levantamientos van de 0 a en , así que los une, y al componer con se obtiene . Toda clase es alguna .
Recíprocamente, si , levantamos la homotopía empezando en 0. Por la unicidad va de a , y su punto final no puede moverse, así que [1]. Por tanto : el número de vueltas es el único invariante homotópico de un lazo.
Una aplicación es continua exactamente cuando lo son sus dos componentes, así que un lazo en es un par de lazos y una homotopía es un par de homotopías. Esto da , un homomorfismo porque los lazos se concatenan componente a componente [1].
Para el toro se obtiene [2]. Los generadores son el lazo , que da una vuelta al primer factor, y el lazo , que da una vuelta al segundo.
El grupo es conmutativo, así que y todo lazo se escribe como . En el cuadrado con los lados opuestos pegados, ese lazo es una recta de pendiente . Repitiendo el argumento se obtiene .
La figura de ocho no es un producto, así que hace falta otra herramienta: el teorema de van Kampen. Engordamos un poco cada circunferencia hasta abiertos y . Cada uno se retrae por deformación sobre su circunferencia y se contrae a un punto [1].
Como la intersección es simplemente conexa, el teorema da un producto libre, , el grupo libre en dos letras [1]. No se impone ninguna relación, porque el pegado ocurre sobre un conjunto de grupo fundamental trivial.
Por eso : recorrer los dos lazos en órdenes distintos da clases de homotopía distintas. Un ramillete de circunferencias tiene como grupo fundamental el grupo libre en letras.
Escribimos y sea la aplicación cociente, un recubrimiento de dos hojas [2]. Para la esfera es simplemente conexa, así que es el recubrimiento universal, y entonces el grupo fundamental es isomorfo al grupo de transformaciones de cubierta [2].
Las transformaciones de cubierta son la identidad y , así que para . El caso es distinto: es una circunferencia, con grupo .
Es fácil dibujar un lazo no trivial. Tomemos media circunferencia máxima del polo norte al polo sur. Sus extremos se identifican, así que se cierra en . Su levantamiento no se cierra, luego no es trivial, pero recorrido dos veces se levanta a un lazo cerrado en la esfera, que se contrae.
Para se tiene [1]. En lugar de contraer los lazos directamente, es más rápido partir la esfera. Quitando el polo norte se obtiene y quitando el polo sur, . Cada uno es homeomorfo a , y es homeomorfo a , que es conexo por caminos cuando .
Un lema hace el resto. Si es unión de abiertos conexos por caminos que contienen el punto base y tienen intersecciones conexas por caminos, todo lazo en el punto base es homótopo a un producto de lazos que se quedan cada uno dentro de uno de los abiertos [1]. La demostración corta el intervalo en trozos finos y usa la compacidad.
Aquí cada lazo dentro de o de vive en una copia de y se contrae, así que todo lazo en se contrae. Para el argumento falla, porque se parte en dos trozos.
El espacio se construye pegando una celda de dimensión a , una y otra vez, de modo que [1].
Todas las celdas tienen dimensión par, así que el 1-esqueleto es la única 0-celda, un punto. En un complejo CW conexo por caminos, la inclusión del 1-esqueleto induce una sobreyección en [1], y el grupo fundamental de un punto es trivial. Por tanto .
El espacio proyectivo real es el caso contrario. Tiene una celda en cada dimensión, así que su 1-esqueleto es una circunferencia, y ahí es donde sobrevive .
La superficie cerrada orientable de género se obtiene pegando por pares los lados de un polígono de lados. Tiene una 0-celda, 1-celdas y una 2-celda [1]. El 1-esqueleto es un ramillete de circunferencias, con un grupo libre en letras, y la palabra a lo largo de la cual se pega la 2-celda se convierte en la única relación.
Así, [1]. Para la relación dice , que vuelve a ser el del toro.
Para el grupo no es conmutativo. Al hacerlo conmutativo se obtiene , así que géneros distintos dan grupos distintos y superficies de género distinto ni siquiera son homotópicamente equivalentes. La botella de Klein, pegada con la palabra , tiene .
Vistos estos ejemplos, cabe preguntarse qué grupos aparecen. La respuesta es: todos [1]. Tomemos una presentación . Todo grupo tiene una, porque todo grupo es cociente de un grupo libre.
Se toma una circunferencia por cada generador y se forma su ramillete, y después se pega una 2-celda a lo largo de la palabra de cada relación . El complejo CW de dimensión dos que resulta tiene grupo fundamental [1]. El ramillete aporta los generadores y las celdas aportan las relaciones, igual que en la figura de ocho y en las superficies cerradas.
Por eso el grupo fundamental por sí solo no puede fijar el tipo de espacio. En sentido contrario, cualquier pregunta sobre un grupo puede convertirse en una pregunta sobre un espacio.
La circunferencia da , la esfera con da el grupo trivial, el toro da , la figura de ocho da , el espacio con da y es simplemente conexo.
Las respuestas conmutativas vienen de los productos y de superficies pegadas con relaciones conmutativas. Las no conmutativas vienen de los productos libres y de las relaciones de las superficies cerradas de género .
Solo se han usado tres herramientas: levantar, separar en factores y pegar. Una vez que se sabe cómo está construido un espacio, su grupo fundamental sigue la misma construcción.