Se suele decir que una taza de café y una rosquilla tienen la misma forma: una se puede amasar como arcilla hasta obtener la otra sin cerrar el agujero del asa. La homotopía convierte esa imagen en un enunciado sobre aplicaciones [1].
Tomemos espacios topológicos , y aplicaciones continuas . Una homotopía de a es una aplicación continua con y para todo [1,2].
Si leemos como el tiempo y escribimos , entonces , y las aplicaciones intermedias forman una familia que lleva hasta . Cuando existe tal , se dice que y son homótopas y se escribe .
No basta con que cada sea continua por separado. La definición exige que sea continua en todo , es decir, continua en además de en .
Sin esa condición, dos aplicaciones cualesquiera quedarían unidas: basta con mantener hasta y pasar a desde ese momento. Cada es continua, pero la familia salta en un instante, y un salto es justo lo que una deformación no puede hacer.
Una homotopía es, por tanto, una sola aplicación continua sobre el espacio producto, no una lista de aplicaciones continuas. En la figura, la familia de la izquierda pasa por todas las posiciones intermedias, mientras que la de la derecha solo cambia por .
La homotopía es una relación de equivalencia. Toda aplicación es homótopa a sí misma mediante , y recorrer una homotopía al revés, como , da la simetría [2].
Para la transitividad se toman de a y de a y se recorren una tras otra: al doble de velocidad para y después en la segunda mitad. Las piezas coinciden en , así que el lema del pegado da la continuidad del conjunto.
Las clases de equivalencia son las clases de homotopía. Si y , entonces , de modo que la composición está bien definida sobre las clases [1].
Con los espacios como objetos y las clases de homotopía como morfismos se obtiene una categoría, la categoría de homotopía. En ella dos espacios son isomorfos exactamente cuando son homotópicamente equivalentes, la noción que viene a continuación.
Sea convexo y sean aplicaciones continuas cualesquiera. Pongamos . Cada valor está en el segmento de a , y la convexidad mantiene ese segmento dentro de [1].
Es la homotopía lineal. Muestra que dos aplicaciones cualesquiera con valores en un conjunto convexo son homótopas, así que las aplicaciones en forman una única clase de homotopía.
En la figura, los dos caminos finos son y y el grueso es . Cada punto se desliza por su propio segmento, y los extremos, donde y coinciden, no se mueven.
Una aplicación es nulhomótopa cuando es homótopa a una aplicación constante [1]. Para un lazo esto tiene un sentido concreto: el lazo es nulhomótopo exactamente cuando se extiende a una aplicación continua sobre el disco que bordea.
En el plano todo lazo se puede rellenar, así que todo lazo se contrae a un punto. Si se quita un punto, un lazo que rodea el hueco ya no se puede rellenar: se deforme como se deforme, siempre se engancha en el punto que falta.
La identidad no es nulhomótopa, pero la inclusión de esa misma circunferencia en sí lo es. Que un lazo sea nulhomótopo depende del espacio de llegada, no solo de la circunferencia [4].
Dos espacios , son homotópicamente equivalentes cuando existen aplicaciones y con y [1,2]. Se dice entonces que tienen el mismo tipo de homotopía.
En un homeomorfismo las dos composiciones son iguales a las identidades. La equivalencia homotópica solo pide que sean homótopas a ellas, así que todo homeomorfismo es una equivalencia homotópica, pero no al revés.
El disco y un punto son homotópicamente equivalentes sin ser homeomorfos: uno tiene infinitos puntos y el otro solo uno. El disco se contrae hacia su centro mediante .
Al ser más gruesa, la relación es más fácil de decidir, y muchos invariantes topológicos resultan depender solo del tipo de homotopía.
Para , una retracción es una aplicación continua que es la identidad sobre [3]. Si además , donde es la inclusión, es un retracto por deformación de : todo se puede empujar de forma continua hasta .
Si además los puntos de deben quedarse quietos durante toda la deformación, es un retracto fuerte por deformación.
Tomemos el anillo del plano, con como borde interior. La homotopía empuja cada punto hacia dentro en dirección radial y cae en cuando , mientras la circunferencia interior no se mueve.
La misma fórmula sirve en , el plano sin el origen. Cada punto se desliza por su rayo hasta la circunferencia unidad, así que es un retracto fuerte por deformación del plano perforado [3].
Las circunferencias de fuera se mueven hacia dentro y las de dentro hacia fuera, y solo la circunferencia unidad se queda donde está. Si no se hubiera quitado el origen, todo el plano se contraería a un punto; ese único punto que falta es lo que lo impide.
En general, es un retracto fuerte por deformación de . Quitar un solo punto deja exactamente la información de una esfera, así que las preguntas sobre espacios perforados se reducen a preguntas sobre esferas.
El anillo , el plano perforado y la banda de Möbius se retraen por deformación sobre una circunferencia; la banda lo hace reduciendo su anchura a cero alrededor de su circunferencia central. Los tres tienen el tipo de homotopía de .
Parecen muy distintos y, sin embargo, todos los invariantes homotópicos coinciden en ellos. Por ejemplo, el grupo fundamental de cada uno es , igual que .
El anillo y la banda de Möbius no son homeomorfos: el anillo tiene dos circunferencias de borde y la banda solo una. La diferencia es real, pero es justo el tipo de diferencia que la equivalencia homotópica no puede ver.
Para cualquier espacio , el cono es : el cilindro sobre con el extremo aplastado en un solo punto, el vértice.
La homotopía desliza cada punto por su segmento hasta el vértice, así que es contráctil sea cual sea [4].
Como está dentro de como el otro extremo, todo espacio se puede encajar en un espacio contráctil. El espacio grande no dice, por tanto, nada de ; la información está en cómo está construido el propio .
Un espacio es contráctil cuando es homotópicamente equivalente a un punto o, lo que es lo mismo, cuando su aplicación identidad es nulhomótopa [4]. El espacio , los conjuntos convexos y los conjuntos estrellados son contráctiles: cada uno se contrae hacia un centro a lo largo de segmentos.
Un espacio contráctil tiene grupos de homotopía y homología triviales, de modo que la mayoría de los invariantes algebraicos no ven nada en él. El recíproco requiere cuidado: el círculo de Varsovia tiene todos sus grupos de homotopía triviales y aun así no es contráctil, porque se comporta mal a pequeña escala.
Para los complejos CW las dos nociones coinciden. Es una consecuencia del teorema de Whitehead: una aplicación entre complejos CW que induce isomorfismos en todos los grupos de homotopía es una equivalencia homotópica.
Una homotopía relativa a es una que deja quietos los puntos de : para todo y todo [1].
Para caminos, está formado por los dos extremos, y una homotopía relativa a ellos se llama homotopía de caminos. El grupo fundamental se construye justamente con este tipo de homotopía.
Los extremos deben quedar fijos. Si pudieran moverse, todo lazo se podría recoger sobre sí mismo hasta su punto de partida y todos los lazos caerían en una sola clase. Con los extremos fijos, un camino que pasa por encima de un agujero no se puede llevar a uno que pasa por debajo.
Los espacios homotópicamente equivalentes comparten sus grupos de homotopía , su homología y su cohomología, su número de componentes conexas por caminos y, para complejos CW finitos, su característica de Euler .
La dimensión, la compacidad y el número de componentes del borde no se conservan. El disco y el punto ya lo muestran: baja de 2 a 0 mientras se mantiene.
Lo que la homotopía descarta es, a grandes rasgos, el grosor. Los agujeros y la manera de unir las piezas sobreviven, el tamaño y la dimensión no, y renunciar a tanto es lo que deja entrar al álgebra. El teorema fundamental del álgebra, el teorema del punto fijo de Brouwer y el teorema de Borsuk-Ulam se demuestran viendo que cierta clase de homotopía no puede anularse [5,6].