Appuyez sur r ou s dans le panneau des rotations et le polygone bouge : r le tourne d'un sommet, r' le tourne en sens inverse, s le retourne. Choisissez une séquence dans le panneau des séquences : elle part du polygone numéroté et se répète, en comptant les tours jusqu'au retour des numéros. Le panneau d'affichage change le nombre de côtés, du triangle au dodécagone.
Les mouvements qui ramènent un polygone régulier sur lui-même forment un groupe, le groupe diédral. Faites un mouvement puis un autre et le résultat est encore un tel mouvement, il existe un mouvement qui ne fait rien, tout mouvement en a un autre qui l'annule, et quand trois mouvements se suivent, peu importe quelle paire on lit d'abord. Voilà toute la définition d'un groupe, et ici chacune de ses lignes est quelque chose que l'on peut presser.
Deux mouvements suffisent à les construire tous. Tourner d'un sommet, c'est r ; retourner autour de l'axe passant par le sommet 0, c'est s ; et ces deux-là sont les générateurs. Tourner en sens inverse n'est pas un troisième mouvement : r' est r fait n moins une fois. Pour une figure à n côtés il y a n rotations et n retournements, donc le groupe compte 2n éléments, et l'affichage les compte pour la figure que vous regardez.
Choisissez une séquence et répétez-la : les numéros reviennent toujours à leur place de départ. Le nombre de tours nécessaires est l'ordre de cet élément. Tourner seul demande n tours, un hexagone revient donc en 6 et un heptagone en 7, tandis qu'un retournement quelconque revient en 2. Ce n'est pas une particularité des polygones : dans tout groupe fini, répéter un élément finit forcément par ramener au départ.
Tourner puis retourner, et retourner puis tourner, sont des mouvements différents. Les deux ramènent la figure sur elle-même, les deux reviennent en deux tours, et pourtant ils envoient le sommet 1 à des endroits différents. Suivez les numéros et vous le verrez. C'est cela que veut dire qu'un groupe n'est pas commutatif, et c'est la raison pour laquelle l'ordre des mouvements doit être noté et ne peut pas être réarrangé. Un retournement inverse une rotation : s r s vaut r' et non r.
Un commutateur, c'est un mouvement, un autre mouvement, le premier annulé, le second annulé. Si les deux mouvements ne se gênaient pas, les quatre s'annuleraient et rien ne se passerait. Ici on l'écrit r s r' s, car un retournement s'annule lui-même et n'a pas besoin de marque propre. Ce qui reste est une rotation, r deux fois, c'est-à-dire exactement l'écart entre les deux mouvements et la commutation. Sur un triangle, cette rotation vaut un tiers de tour, et l'exécuter trois fois ramène les numéros chez eux.
Prenez les rotations seules et vous avez un groupe dans le groupe, un sous-groupe, et c'est le groupe cyclique : un mouvement répété n fois. Les retournements sont l'autre moitié, et chacun d'eux est son propre inverse. Ces deux mêmes moitiés reparaissent dans la symétrie des pavages et des cristaux, et la façon dont se comporte un cube de Rubik est ce même raisonnement sur un groupe plus grand.