Tekan r atau s di panel putaran dan bangunnya bergerak: r memutarnya satu titik sudut, r' memutarnya balik, s membaliknya. Pilih satu urutan di panel urutan: urutan itu mulai dari segi banyak bernomor lalu berulang, sambil menghitung putaran sampai nomornya kembali. Panel tampilan mengubah jumlah sisi, dari segitiga sampai segi dua belas.
Gerakan-gerakan yang menumpangkan segi banyak beraturan pada dirinya sendiri membentuk sebuah grup, yang disebut grup dihedral. Lakukan satu gerakan lalu satu lagi, hasilnya tetap gerakan semacam itu, ada gerakan yang tidak melakukan apa-apa, setiap gerakan punya gerakan lain yang membatalkannya, dan ketika tiga gerakan beruntun, tidak jadi soal pasangan mana yang dibaca lebih dulu. Itulah seluruh definisi grup, dan di sini setiap barisnya adalah sesuatu yang bisa ditekan.
Dua gerakan sudah cukup untuk membangun semuanya. Memutar satu titik sudut adalah r, membalik terhadap sumbu yang melalui titik sudut 0 adalah s, dan keduanya itulah generatornya. Memutar balik bukan gerakan ketiga: r' adalah r yang dilakukan n dikurangi satu kali. Untuk bangun bersisi n ada n rotasi dan n pembalikan, jadi grupnya punya 2n elemen, dan bacaannya menghitungnya untuk bentuk yang sedang tampak.
Pilih satu urutan dan ulangi, nomornya selalu kembali ke tempat semula. Jumlah putaran yang diperlukan adalah orde dari elemen itu. Memutar saja butuh n putaran, jadi segi enam kembali dalam 6 dan segi tujuh dalam 7, sedangkan pembalikan mana pun kembali dalam 2. Ini bukan keistimewaan segi banyak: dalam grup berhingga mana pun, mengulang satu elemen pasti kembali ke awal.
Memutar lalu membalik, dan membalik lalu memutar, adalah gerakan yang berbeda. Keduanya menumpangkan bangun itu pada dirinya sendiri, keduanya kembali dalam dua putaran, namun keduanya mengirim titik sudut 1 ke tempat yang berbeda. Ikuti nomornya dan itu akan terlihat. Itulah arti grup yang tidak komutatif, dan itu pula sebabnya urutan gerakan harus dicatat dan tidak boleh ditukar. Pembalikan membalikkan arah rotasi: s r s adalah r', bukan r.
Komutator adalah satu gerakan, gerakan lain, yang pertama dibatalkan, yang kedua dibatalkan. Kalau kedua gerakan itu tidak saling mengganggu, keempatnya akan saling meniadakan dan tidak terjadi apa-apa. Di sini ditulis r s r' s, karena pembalikan membatalkan dirinya sendiri dan tidak perlu tanda tersendiri. Yang tersisa adalah rotasi, r sebanyak dua kali, dan itulah persis seberapa jauh kedua gerakan itu gagal bertukar tempat. Pada segitiga rotasi itu sepertiga putaran, dan menjalankannya tiga kali membawa nomornya pulang.
Ambil rotasinya saja, maka kamu punya grup di dalam grup, sebuah subgrup, dan itu adalah grup siklik: satu gerakan yang diulang n kali. Pembalikan adalah separuh yang lain, dan setiap pembalikan adalah invers dirinya sendiri. Dua separuh yang sama muncul lagi pada simetri pengubinan dan kristal, dan cara kubus Rubik berperilaku adalah penalaran yang sama pada grup yang lebih besar.