Premi r o s nel pannello delle rotazioni e il poligono si muove: r lo ruota di un vertice, r' lo ruota indietro, s lo ribalta. Scegli una sequenza nel pannello delle sequenze: parte dal poligono numerato e si ripete, contando i giri finché i numeri non tornano. Il pannello di visualizzazione cambia il numero di lati, dal triangolo al dodecagono.
I movimenti che riportano un poligono regolare su se stesso formano un gruppo, il gruppo diedrale. Fai un movimento e poi un altro e il risultato è di nuovo un movimento del genere, c'è una mossa che non fa nulla, ogni mossa ne ha un'altra che la annulla, e quando tre mosse si susseguono non conta quale coppia si legge per prima. Questa è tutta la definizione di gruppo, e qui ogni sua riga è qualcosa che si può premere.
Due mosse bastano a costruirle tutte. Ruotare di un vertice è r, ribaltare attorno all'asse che passa per il vertice 0 è s, e queste due sono i generatori. Ruotare all'indietro non è una terza mossa: r' è r fatto n meno una volte. Per una figura di n lati ci sono n rotazioni e n ribaltamenti, quindi il gruppo ha 2n elementi, e la lettura li conta per la figura che stai guardando.
Scegli una sequenza e ripetila e i numeri tornano sempre da dove erano partiti. Il numero di giri necessari è l'ordine di quell'elemento. La sola rotazione richiede n giri, così un esagono torna in 6 e un ettagono in 7, mentre un qualsiasi ribaltamento torna in 2. Non è una particolarità dei poligoni: in qualsiasi gruppo finito, ripetere un elemento deve prima o poi riportare al punto di partenza.
Ruotare e poi ribaltare, e ribaltare e poi ruotare, sono mosse diverse. Entrambe riportano la figura su se stessa, entrambe tornano in due giri, eppure mandano il vertice 1 in posti diversi. Segui i numeri e lo vedi. È questo che significa che un gruppo non è commutativo, ed è la ragione per cui l'ordine delle mosse va scritto e non può essere riordinato. Un ribaltamento inverte una rotazione: s r s è r' e non r.
Un commutatore è una mossa, un'altra mossa, la prima annullata, la seconda annullata. Se le due mosse non si disturbassero, le quattro si annullerebbero e non accadrebbe nulla. Qui si scrive r s r' s, perché un ribaltamento annulla se stesso e non ha bisogno di un segno proprio. Quel che resta è una rotazione, r due volte, ed è esattamente di quanto le due mosse mancano di commutare. Su un triangolo quella rotazione è un terzo di giro, ed eseguirla tre volte riporta i numeri a casa.
Prendi le sole rotazioni e hai un gruppo dentro il gruppo, un sottogruppo, ed è il gruppo ciclico: una mossa ripetuta n volte. I ribaltamenti sono l'altra metà, e ognuno di essi è l'inverso di se stesso. Le stesse due metà ricompaiono nella simmetria delle tassellature e dei cristalli, e il modo in cui si comporta un cubo di Rubik è questo stesso ragionamento su un gruppo più grande.