회전 패널에서 r이나 s를 누르면 도형이 움직입니다. r은 꼭짓점 하나만큼 돌리고, r'은 반대로 돌리고, s는 뒤집습니다. 수순 패널에서 수순을 고르면 번호가 놓인 상태에서 시작해 반복되고, 돌아올 때까지의 반복 횟수를 셉니다. 표시 패널에서 변의 수를 삼각형부터 십이각형까지 바꿀 수 있습니다.
정다각형을 자기 자신에 겹치는 움직임의 모임은 수학에서 말하는 군이 됩니다. 이면체군이라고 부르는 것입니다. 두 수를 이으면 다시 하나의 수가 되고, 아무것도 하지 않는 수가 있으며, 어느 수에나 되돌리는 수가 있고, 세 수를 이을 때는 어느 쪽부터 읽어도 결과가 달라지지 않습니다. 이것이 군의 정의 전부이며, 여기서는 그 한 줄 한 줄이 실제로 누를 수 있는 것으로 눈앞에 있습니다.
수는 두 개면 충분합니다. 꼭짓점 하나만큼 돌리는 것이 r, 꼭짓점 0을 지나는 축으로 뒤집는 것이 s이고, 이 둘이 생성원입니다. 반대로 돌리는 것은 세 번째 수가 아닙니다. r'은 r을 n에서 1을 뺀 횟수만큼 돌린 것입니다. n 각형이면 회전이 n 개, 뒤집기가 n 개이므로 원소는 모두 2n 개입니다. 지금 보고 있는 도형의 원소 수는 수순 패널이 그대로 세어 보여 줍니다.
수순을 골라 반복하면 번호는 반드시 원래의 배열로 돌아옵니다. 돌아올 때까지의 반복 횟수가 그 수순의 위수입니다. 돌리기만 하면 변의 수와 같은 횟수로 돌아오므로 육각형이면 6번, 칠각형이면 7번이 걸립니다. 뒤집기는 어느 것이나 2번이면 돌아옵니다. 이것은 다각형의 신기함이 아닙니다. 원소가 유한하면 같은 수를 반복할 때 언젠가는 출발점으로 돌아옵니다. 어떤 유한군에서도 성립하는 이야기입니다.
돌린 뒤 뒤집는 것과, 뒤집은 뒤 돌리는 것은 서로 다른 수입니다. 둘 다 도형을 자기 자신에 겹치고, 둘 다 2번이면 돌아오는데도 꼭짓점 1의 가는 자리가 다릅니다. 번호를 따라가면 그것이 눈으로 보입니다. 이것이 군이 비가환이라는 뜻이며, 수의 순서를 적어 두어야 하는 이유이기도 합니다. 뒤집기를 끼우면 회전은 방향이 바뀌어, s r s는 r이 아니라 r'이 됩니다.
교환자는 어떤 수, 다른 수, 첫 번째의 역수, 두 번째의 역수를 늘어놓은 것입니다. 두 수가 서로 방해하지 않는다면 이 넷은 상쇄되어 아무 일도 일어나지 않습니다. 여기서는 r s r' s로 씁니다. 뒤집기는 한 번 더 뒤집으면 돌아오므로 역수에 표시가 필요 없습니다. 남는 것은 회전이며, r을 두 번 돌린 것입니다. 이것이 두 수의 어긋남의 크기 그 자체입니다. 삼각형이면 그 회전은 3분의 1바퀴이고, 세 바퀴 돌면 번호는 제자리로 돌아옵니다.
회전만 따로 떼어내면 군 속의 군이 됩니다. 부분군이라고 부르는 것으로, 하나의 수를 n 번 반복하기만 하는 순환군입니다. 나머지 절반이 뒤집기이며, 이쪽은 어느 것이나 자기 자신이 역수입니다. 이 두 절반은 쪽매맞춤 무늬나 결정의 대칭에도 같은 모양으로 나타납니다. 루빅스 큐브의 군도 같은 생각을 더 큰 군에서 따라간 것입니다.