分散と標準偏差の公式と求め方（正規分布に従わないラーメン屋の客数から標準偏差を計算してみよう）

あるラーメン屋の来客数を例に分散と標準偏差を考える。

曜日|客数
-|
月|20
火|15
水|18
木|19
金|27
土|7
日|6

パッと見て「平日は多く、休日は少ない」と感じたと思う。その感覚を数値化したものが分散・標準偏差である。まずは平均を求めよう。

$$Mean=\frac{20+15+18+19+27+7+6}{7}=16$$

平均は $16$ 人である。土曜日の $7$ 人という数は平均と比べてかなり少ない。つまり土日は平均よりもかなりずれた値といえる。分散もその分だけ大きくなる。

分散とは？　分散の公式

分散とはデータの散らばり具合である。分散の公式は次のとおり。

$$Var=\frac{1}{n}\sum _1^n(x_i-x{)}^2$$

ここでデータは $x_i(i=1,2,3,\cdots )$ で $x$ はその平均とする。

分散は、各データと平均の差を $2$ 乗して、それを個数で平均した値である。

1. データと平均の差を求める
2. それを 2 乗する
3. それらの平均を求める

分散の計算例

ラーメン屋の客数の分散を求めてみよう。分散を求めるには、表に「差」という項目を追加すればよい。平均は $16$ 人であった。

平均との差がわかったら、それを $2$ 乗しよう。

やっと分散を求める土台が整った。分散 $Var$ は

$$Var=\frac{16+1+4+1+121+81+100}{7}=46.285$$

だいたい $46.285$ とわかった。ところでこの値になんの意味があるだろう？　その疑問は標準偏差のアイデアにつながる。ちなみに上の分散が本当に正しい値かは下の記事で確かめられる。

分散・標準偏差電卓

すべての曜日で同じ人数だった場合の分散

もし毎日 $16$ 人きたらどうなるか？　分散を求めてみよう。

曜日|客数
-|
月|16
火|16
水|16
木|16
金|16
土|16
日|16

奇跡のようなデータだ。おそらくこんなラーメン屋はほとんどない。

平均との差はもちろんすべて $0$ になる。よってそれらを $2$ 乗した値も $0$ であり、それらの平均も $0$ である。つまり分散は $0$ となり、分散していないとわかる。

分散 0 → 分散していない

分散という言葉が妥当な日本語だということがわかっただろうか。分散とは、そのままの意味だったのだ。

ところで分散していない状態はめったにない。つまり確率的にかなり低い。データがランダムに散らばるとき、その分散はある確率分布にしたがうことがなんとなくわかる。

標準偏差とは？　標準偏差の公式

標準偏差とは分散の平方根である。

$$Std=\sqrt{Var}$$

数学を勉強した人は一回くらい「分散を使えばいいじゃないか、なぜわざわざその平方根をとるのか？」と考える。「分散という値になんの意味があるのか？」という疑問は妥当である。平方根をとる理由は、分散ともとのデータは次元（単位）が異なるため、分散とデータを比較することはできないからだ。

ラーメン屋の標準偏差を求めてみよう。

$$Std=\sqrt{46.285}=6.88$$

だいたい $7$ 人である。そう、 $7$ 人である。標準偏差はもとのデータと同じ単位をもつ。分散の $46$ という数は人数でない。公式をもう一度見てほしい。カッコの中で $2$ 乗している。 $2$ 乗しているため、分散の単位は「人×人」になっている。

標準偏差とは、「だいたいのデータが平均とどれだけずれているか」を示す値である。つまりラーメン屋の客数はだいたい平均と $7$ 人ずれている。本当にそうだろうか？

金曜日、土曜日、日曜日ともに $7$ 人を超えているが、それ以外はだいたい $7$ 人を下回っている。どことなく $7$ 人あたりが「差の平均」のような気がする。

標準偏差を超えて現実を考える

ここからは正規分布などの統計にくわしい人に向けた内容になる。

このデータを例にしたのには理由がある。正規分布に従ったデータは確かに、だいたいのデータが標準偏差の範囲内に収まる。そうしたデータを扱うのは面白いし、自分の考えどおりに世界が動いているように見える。

しかし小売や会社の生産額などは正規分布に従わないことがある。パレートの法則で説明したとおり、金回りは正規分布でなくべき分布に従い、いわゆる勝者総取りになる。

標準偏差は「個別的な引力が働かず、物事がランダムに動く」という理想状態で威力を発揮する、理想気体の定数のようなものだ。

ラーメン屋でもデータが $7$ 人の偏差におさまっているような錯覚を受けるが、本当にそうだろうか。もう一度見てほしい。

無理に平均をとれば $7$ 人に見えなくもないが、実際は金曜日、土曜日、日曜日に大きなズレがある。正規分布というなめらかな分布は理想的で美しいが、実際はこのように大きな不連続がある。標準偏差だけを見るかぎり、この「崖」の性質を知ることはできない。

むしろ次のように考えたほうがいい。標準偏差が無意味になっているブレークポイントはどこか？　それはなぜ無意味か？　なにが標準偏差を無意味にさせているか？