テンソルの直積（tensor product）は、2つのテンソルから新しいテンソルを構成する演算です。記号 $\otimes$ ...
アフィン空間は、ベクトル空間から「原点」の概念だけを取り除いた構造です。アフィン接続は、そのアフィン空間や一般の多様体上で、向き...
点列の極限が一意であることとハウスドルフであることは、一般には必要十分ではありません。ハウスドルフ空間では点列の極限は一意ですが...
ハウスドルフ空間では、収束する点列の極限が一意に定まります。つまり、ある点列が2つの異なる点に収束することはありません。この性質...
最も単純なハウスドルフでない空間の例は、密着位相（indiscrete topology）を持つ空間です。 集合 $X = \...
ハウスドルフ空間（Hausdorff space）は、位相空間論における重要な分離公理の一つです。異なる 2 点を互いに交わらな...
固有値の重複度には、代数的重複度と幾何的重複度の 2 種類があります。この 2 つは固有値がどれだけ「重なっている」のかを異なる...
行列 $A$ に対して、ある固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトル全体と零ベクトルを合わせた集合を固有空間（eige...
エルミート行列（Hermitian matrix）は、複素数を成分とする正方行列のうち、自分自身の共役転置に等しい行列です。つま...
共役転置（随伴行列）は $A^*$ や $A^\dagger$ で表され、行列 $A$ の転置をとってから各成分の複素共役をとっ...
行列のランクとは、行列が持つ独立な行（または列）の最大個数です。ランクは行列の本質的な次元を表す重要な概念で、連立方程式の解の存...
$n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であるとは、ある正則行列 $P$ が存在して \[ P^{-1}AP = D \] ...
直交補空間とは、あるベクトル空間の部分空間に対して、その部分空間のすべてのベクトルと直交するベクトルの集合です。分解定理は、ベク...
陰関数 $F(x,y) = 0$ について、点 $(a,b)$ で $F(a,b) = 0$ かつ $\frac{\partia...
代数幾何学における有理同値（rational equivalence）は、代数多様体上のサイクルを分類する同値関係の一つである。...
代数幾何学における**有理写像**（rational map）とは、概形（または代数多様体）$X$ から $Y$ への写像のうち...
代数曲面の分類理論は、複素代数曲面（複素射影多様体で次元2のもの）を、その双有理同値類に基づいて体系的に整理する理論である。19...
実数の関数 $f(x)$ がある点 $a$ で**連続**であるとは、次の条件が成り立つことをいいます。 \[ \forall...
三角関数の半角の定理とは、角を半分にしたときの $\sin$, $\cos$, $\tan$ の値を、2倍角の式を使って表すもの...
可換環論では、局所環が「正則（regular）」であるとは、その極大イデアルを生成する元の最小数（生成元数）が、その環のクルル次...
局所環とは、ただ一つの極大イデアルを持つ可換環のこと。可換環 $R$ が局所環であることは、次の条件と同値である。 $R$ は...
可換環の次元とは、環の「階層的な複雑さ」を示す概念で、幾何学的には空間の「次元」と対応します。とくに代数幾何学では、可換環と対応...
有限生成アーベル群 G は、巡回群の直和として一意的に表される
群とは、集合 $G$ と二項演算 $\cdot$ があり、次の三つの条件を満たすものです。 任意の $a,b,c \in G$...
