直積には射影が連続になる最弱の位相を、直和には包含が連続になる最強の位相を入れる。基本開集合が有限個の成分しか絞らない理由を収束...

異なる 2 点を交わらない開集合で分けられない空間は珍しくありません。密着位相・シェルピンスキー空間・有限補位相・ザリスキー位相...

二重級数の順序を交換してよいのは、項が非負であるか絶対値の和が有限であるかのどちらかのときです。値が変わる例から出発して 2 つ...

連続関数の列が一様収束すれば極限も連続になります。$\varepsilon$ を 3 つに割る証明を書き下し、一様性が効いている...

置換積分では何を置くかで手間が決まります。前向きの置換と後ろ向きの置換を分けて整理し、平方完成・有理化・三角置換の定石を並べ、定...

制約付きの極値では、勾配が平行になる点が候補になる。陰関数定理を使って定理を証明し、必要条件でしかないことと勾配が消える点で仮定...

無限和と微分・積分は、順序を入れ替えられるとは限りません。項別積分は級数の一様収束で、項別微分は導関数の級数の一様収束で保証され...

微分は関数を 1 次式で近似したときの傾きです。差分商の極限という定義から始め、角・尖点・垂直な接線・振動という微分できない点の...

偏微分は片方の変数を止めて 1 変数の微分をする操作である。記号の順序、連鎖律、極座標での作用素の書き換えを確かめ、シュワルツの...

不定形の極限を導関数の比に置き換えてよいのは、置き換えた先の極限が存在するときに限る。定理の証明から始め、対数を取る変形や置換で...

べき級数の和を閉じた形にする作業は、等比級数を微分・積分・掛け算で移し替えることに尽きる。項別操作が使える範囲と端点の扱いを区別...

複素数の指数関数をべき級数で定義し、絶対収束とコーシー積から指数法則を示してオイラーの公式を証明する。ド・モアブルの定理や加法定...

一様収束かどうかは、差の上限が 0 に近づくかで決まる。上限を実際に見積もる型を順に確かめ、M 判定法・ディリクレの判定法・ディ...

不等式の証明は、平均値の定理で f'(c) に直してから c の範囲だけで押さえるのが基本の型である。対数・三角・指数・べき根の...

全微分は増分を 1 次式で置き換える操作で、近似計算にも誤差の見積もりにも同じ式が使える。全微分の計算から連鎖律・線形近似・誤差...

判定法にはそれぞれ使える条件があり、外れると何も言えないまま終わる。比・根・積分・交代級数の各判定法を順に使い、判定できない場合...

重積分は積分の順序と座標の取り方で手間が大きく変わる。長方形領域から始めて順序の変更・極座標・変数変換・三重積分まで解き、面積要...

円は全体を y = f(x) と書けないが、範囲を狭めれば書ける。どこまでならこの言い換えが通るのかを定めるのが陰関数定理である...

導関数を一致させる多項式はただ一つに決まる。この一意性を軸に、剰余項の形を証明し、既知の展開を組み合わせて主要な関数の展開を導き...

逆関数の導関数は、もとの関数の導関数の逆数になる。連鎖律による導出が証明にならない理由を示してから定義に戻って証明し、対数と逆三...

上和と下和の差をいくらでも小さくできる分割があれば、その関数は積分できる。分割とリーマン和から始めてこの判定条件を導き、定義から...

数列の収束を、ε と N の不等式で定義する。量化子の順序が意味を決めていることを確かめ、具体例ごとに N の取り方を示したうえ...

集合の大きさを測る枠組みを、可算加法性ひとつから組み立てる。定義から出る性質をすべて証明し、計数測度からハウスドルフ測度まで具体...

無限乗積がいつ値を持つかを、収束の定義から順に確かめる。絶対収束の判定条件を証明し、級数の収束とずれる反例を両方向から挙げる。正...