体上有限生成な環（finitely generated algebra over a field）は、代数幾何学で扱う環の基本的...
代数幾何学では、環の極大イデアルを「点」と見なします。この対応はヌルステレンサッツ（零点定理）に基づいており、代数幾何学の出発点...
局所化（localization）は、環の一部の元を「可逆」にする操作です。幾何学的には、多様体の特定の部分を「拡大して見る」こ...
代数幾何学で「次元が下がる」とは、方程式を課して多様体を切り出すことに対応します。この直感を代数的に理解しましょう。 方程式...
アフィン多様体の次元と、その座標環の Krull 次元は一致します。この対応は代数幾何学の基本であり、幾何学的な問題を代数的に扱...
環をイデアルで割ると、次元はどう変化するでしょうか。一般には次元が下がりますが、どれだけ下がるかはイデアルの性質に依存します。 ...
体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ の Krull 次元は $n$ です。この事実は直感的には...
Krull 次元は素イデアルの包含列（鎖）の長さで定義されます。なぜこのような定義が自然なのか、具体例を通じて理解しましょう。 ...
Krull 次元は、可換環の「大きさ」を測る基本的な不変量です。幾何学的には、対応する代数多様体の次元と一致するように定義されて...
正則局所環と接空間の間には密接な関係があります。接空間の次元が局所環の正則性を判定する鍵となります。 代数的な接空間の定義 ...
代数多様体の特異点とは、滑らかでない点のことです。特異点における局所環は正則ではなく、いくつかの特徴的な性質が現れます。 特...
代数幾何学では、多様体の「滑らかさ」を局所環の性質として捉えます。微分幾何学でいう滑らかな多様体に対応する概念を、純粋に代数的な...
正則局所環（regular local ring）は、代数幾何学で「滑らかさ」を代数的に表現する概念です。局所環の中でも特に性質...
代数曲線上の滑らかな点には、自然に離散付値環が対応します。この対応は、曲線を局所的に調べるうえで基本的な道具となります。 曲...
付値（valuation）は、体の元に「大きさ」や「位数」を割り当てる道具です。通常の絶対値とは異なる視点で数の性質を捉えること...
体 $k$ 上の形式的べき級数環 $k[[t]]$ は、離散付値環の最も素朴な例の一つです。多項式環 $k[t]$ とよく似てい...
$p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p$ は、離散付値環の代表的な例です。整数論や数論幾何学で中心的な役割を果たすこの環が...
離散付値環（Discrete Valuation Ring, DVR）は、整域の中でも特に扱いやすい構造をもつ環です。局所環であ...
線形代数で学ぶ有限次元空間と、関数解析で扱う無限次元空間では、成り立つ性質が大きく異なります。何が変わるのかを整理します。 ...
関数解析では様々な「収束」の概念が登場します。強収束・弱収束・ノルム収束の違いを整理しましょう。 ノルム収束（強収束） 点...
バナッハ空間とヒルベルト空間は関数解析の二大主役です。両者の違いと関係を整理します。 定義の違い ---compare :...
縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）は、反復操作で不動点が見つかることを保証します。なぜ収束するのか、直感的に説明します。 ...
リースの表現定理は「ヒルベルト空間上の有界線形汎関数はすべて内積で表せる」という主張です。この定理が意味することを解説します。 ...
開写像定理と閉グラフ定理は、どちらもバナッハ空間上の有界線形作用素に関する基本定理です。実は密接に関連しています。 開写像定...
