集合と論理（高校数学Ⅰ）：命題の真偽と反例、条件の否定のわかりやすい説明と練習問題

命題とは、何かを主張する文のことです。例えば「雨が降っている」といった文を命題といいます。もちろん $x=1$ といった数学的な文も命題です。

「埼玉県は海に接している」も命題です。しかしこの「埼玉県は海に接している」という命題は誤り（これからは偽といいます）。なぜなら埼玉県は海に接していないからです。このように命題は正しいものと誤りのものがあり、それぞれ「真の命題」「偽の命題」といいます。

問題

次の命題の真偽を確かめなさい。

$(1)$　山口県は中国地方にある。

$(2)$　織田信長の家臣に武田信玄がいた。

$(3)$　日本とアメリカの間に大西洋がある。

$(4)$　$-4$ の絶対値は $4$ である。

$(5)$　$\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

$(6)$　$3^2=10$

解答

$(1)$　真

$(2)$　偽

$(3)$　偽

$(4)$　真

$(5)$　偽

$(6)$　偽

問題

次の命題の真偽を調べなさい。

$(1)$　$x>1\Rightarrow x>0$

$(2)$　$x>1\Rightarrow x>2$

$(3)$　$x^2>1\Rightarrow x>1$

$(4)$　$x>1\Rightarrow x^2>1$

$(5)$　整数 $n$ について $n>1\Rightarrow n\geqq 2$

$(6)$　整数 $n$ について $n$ が $4$ の倍数ならば $n$ は偶数

解答

$(1)$　真

$(2)$　偽

$(3)$　偽

$(4)$　真

$(5)$　真

$(6)$　真

このように命題は基本的に真偽をつけることができます。

ここで $(3)$ の $x^2>1\Rightarrow x>1$ がなぜ偽であるか考えてみます。

例えば $x=-1$ の時、$x^2>1$ は成り立ちますが、$x>1$ は当然成り立ちません。このように特定のケースを見つけて命題が偽であると主張できる場合があります。

これを反証といい、この特定のケースを反例といいます。ここでは $x=-1$ が反例となります。

問題

次の命題はすべて偽である。それぞれについて反例をあげなさい。

$(1)$　$xy>0$ $\Rightarrow$ $x>0$ かつ $y>0$

$(2)$　$n$ は $3$ の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は $6$ の倍数

$(3)$　$n$ は $3$ の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は奇数

解答

$(1)$　$x=-1,y=-1$

$(2)$　$n=3$

$(3)$　$n=6$

命題の否定

命題はその否定を作ることができます。例えば「雨が降っている」の否定は「雨が降っていない」に、$x=1$ の否定は $x\ne 1$ になります。

数式を否定する時はイコールをノットイコールにします。また $x>1$ の否定は $x\leqq 1$ となります。

問題

次の命題の否定を作りなさい。

$(1)$　私はペンを持っている。

$(2)$　犬は哺乳類でない。

$(3)$　$x^2-2x+1=0$ の解は $1$ のみである。

$(4)$　$2^2=4$

$(5)$　$\tan 45^{\circ }>\frac{1}{2}$

$(6)$　$1+1>3$

解答

$(1)$　私はペンを持っていない。

$(2)$　犬は哺乳類である。

$(3)$　$x^2-2x+1=0$ の解は $1$ のみとは限らない。

$(4)$　$2^2\ne 4$

$(5)$　$\tan 45^{\circ }\leqq \frac{1}{2}$

$(6)$　$1+1\leqq 3$

『かつ』『または』が入っている命題の否定

続いて「 $x=2$ かつ $y=1$ 」というように and が入っている命題の否定について考えてみます。

結論としてこの命題の否定は

$x\ne 2$ または $y\ne 1$

となります。つまり個別の文を否定にして、「かつ」を「または」（and を or）にします。逆に「または」の否定は「かつ」になります。

かつ → または
または → かつ

問題

次の命題の否定を作りなさい。

$(1)$　私はペンを持っている、かつ、あなたはパンを食べていない。

$(2)$　犬は哺乳類でない、または、猫は魚類でない。

$(3)$　$x=9$ または $y=0.5$

$(4)$　$x\ne 1$ かつ $y=3.14$

$(5)$　$3^2=3$ または $4^2\ne 16$

$(6)$　$\tan 45^{\circ }\ne \frac{1}{2}$ かつ $\tan 30^{\circ }\ne \frac{1}{3}$

解答

$(1)$　私はペンを持っていない、または、あなたはパンを食べている。

$(2)$　犬は哺乳類である、かつ、猫は魚類である。

$(3)$　$x\ne 9$ かつ $y\ne 0.5$

$(4)$　$x=1$ または $y\ne 3.14$

$(5)$　$3^2\ne 3$ かつ $4^2=16$

$(6)$　$\tan 45^{\circ }=\frac{1}{2}$ または $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{3}$

「すべて」「ある」が入っている命題の否定

「すべてのカラスは黒い」という命題を考えてみます。「すべて」という言葉に注目してください。この命題の否定は「あるカラスは黒くない」となります。「黒い」が「黒くない」に変わるだけでなく、「すべて」が「ある」に変わってしまうのです。

逆に「ある」の否定は「すべて」になります。例えば「ある犬は白い」という命題の否定は「すべての犬は白くない」となります。

問題

次の命題の否定をつくりなさい。

$(1)$　すべての星には水がある。

$(2)$　ある犬は猫と喧嘩しない。

$(3)$　すべての数は $0$ 以上である。

$(4)$　すべての三角形は三辺が等しい。

$(5)$　すべての数について、その二乗は $0$ 以上である。

$(6)$　すべての数 $x$ について、$x^2+1$ は $0$ 以上である。

解答

$(1)$　ある星には水がない。

$(2)$　すべての犬は猫と喧嘩する。

$(3)$　ある数は $0$ 未満である。

$(4)$　ある三角形は三辺が等しくない。

$(5)$　ある数について、その二乗は $0$ 未満である。

$(6)$　ある数 $x$ について、$x^2+1$ は $0$ 未満である。