Naciśnij r albo s w panelu obrotów, a figura się poruszy: r obraca ją o jeden wierzchołek, r' obraca z powrotem, s ją odbija. Wybierz sekwencję w panelu sekwencji: zacznie się od ponumerowanej figury i będzie się powtarzać, licząc powtórzenia, aż numery wrócą. Panel wyświetlania zmienia liczbę boków, od trójkąta po dwunastokąt.
Ruchy, które nakładają wielokąt foremny na siebie samego, tworzą grupę, zwaną grupą dihedralną. Wykonaj jeden ruch, potem drugi, a wynik znów jest takim ruchem, jest ruch, który nic nie robi, każdy ruch ma inny, który go cofa, a gdy trzy ruchy następują po sobie, nie ma znaczenia, którą parę przeczytasz najpierw. To cała definicja grupy, a tutaj każdy jej wiersz jest czymś, co można nacisnąć.
Dwa ruchy wystarczą, aby zbudować wszystkie. Obrót o jeden wierzchołek to r, odbicie względem osi przez wierzchołek 0 to s, i te dwa są generatorami. Obrót w drugą stronę nie jest trzecim ruchem: r' to r wykonane n minus jeden razy. Dla figury o n bokach jest n obrotów i n odbić, więc grupa ma 2n elementów, a odczyt liczy je dla figury, którą właśnie widzisz.
Wybierz sekwencję i powtarzaj ją, a numery zawsze wrócą tam, skąd wyszły. Liczba powtórzeń to rząd tego elementu. Sam obrót wymaga n powtórzeń, więc sześciokąt wraca po 6, a siedmiokąt po 7, podczas gdy każde pojedyncze odbicie wraca po 2. To nie jest właściwość wielokątów: w każdej grupie skończonej powtarzanie jednego elementu musi w końcu wrócić do początku.
Obrót, a potem odbicie, i odbicie, a potem obrót, to różne ruchy. Oba nakładają figurę na siebie samą, oba wracają po dwóch powtórzeniach, a jednak posyłają wierzchołek 1 w różne miejsca. Śledź numery, a to zobaczysz. Właśnie to znaczy, że grupa nie jest przemienna, i dlatego kolejność ruchów trzeba zapisać i nie wolno jej zmieniać. Odbicie odwraca obrót: s r s to r', a nie r.
Komutator to ruch, drugi ruch, cofnięcie pierwszego, cofnięcie drugiego. Gdyby te dwa ruchy sobie nie przeszkadzały, wszystkie cztery by się zniosły i nic by się nie stało. Tutaj zapisuje się go r s r' s, bo odbicie cofa samo siebie i nie potrzebuje własnego znaku. To, co zostaje, jest obrotem, r wykonanym dwa razy, i dokładnie o tyle tym dwóm ruchom brakuje do przemienności. Na trójkącie ten obrót to jedna trzecia pełnego obrotu, a wykonany trzy razy sprowadza numery do domu.
Weź same obroty, a masz grupę wewnątrz grupy, podgrupę, i jest to grupa cykliczna: jeden ruch powtórzony n razy. Odbicia to druga połowa, a każde z nich jest swoją własną odwrotnością. Te same dwie połowy pojawiają się znów w symetrii parkietaży i kryształów, a to, jak zachowuje się kostka Rubika, jest tym samym rozumowaniem na większej grupie.