Naciśnij U albo R' w panelu obrotów, a ta ściana się obróci. Wybierz sekwencję w panelu sekwencji: zacznie się od ułożonej kostki i będzie się powtarzać, licząc powtórzenia, aż kostka wróci. Przeciągnij kostkę, aby ją obrócić, i użyj kółka, aby przybliżyć.
Obroty kostki Rubika tworzą grupę. Wykonaj jeden obrót, potem drugi, a wynik znów jest obrotem kostki, jest ruch, który nic nie robi, każdy ruch ma inny, który go cofa, a gdy trzy ruchy następują po sobie, nie ma znaczenia, którą parę przeczytasz najpierw. To cała definicja grupy, a tutaj każdy jej wiersz jest czymś, co można nacisnąć.
Sześć obrotów ścian to generatory. Choćby kostka wyglądała najbardziej poplątanie, ten stan powstał z tych sześciu ruchów i tymi samymi ruchami da się go rozłożyć. Obroty odwrotne nie są dodatkiem: U' to tylko trzy razy U.
Wybierz sekwencję i powtarzaj ją, a kostka zawsze wróci do ułożonej. Liczba powtórzeń to rząd tego elementu. Samo U wraca po 4, a R U, czyli tylko dwie ściany na przemian, wymaga 105. To nie jest właściwość kostki: w każdej grupie skończonej powtarzanie jednego elementu musi w końcu wrócić do początku. Najdłużej sekwencja wymaga tu 1260 powtórzeń, a R U2 D' B D' jest jedną z nich.
Komutator to ruch, drugi ruch, cofnięcie pierwszego, cofnięcie drugiego. Gdyby te dwa ruchy sobie nie przeszkadzały, wszystkie cztery by się zniosły i nic by się nie stało. Przeszkadzają sobie, więc zostaje odrobina, i chodzi właśnie o to, jak niewiele: R U R' D R U' R' D' przesuwa tylko trzy elementy. Możliwość naruszenia małej części bez mieszania reszty jest tym, co w ogóle czyni metody układania możliwymi.
Grupa ma 43 252 003 274 489 856 000 elementów. Osiem narożników można ustawić na 8! sposobów, a dwanaście krawędzi na 12!, skręcenia narożników dają 3 do potęgi 7, a obroty krawędzi 2 do potęgi 11, i iloczyn dzieli się przez dwa. Wykładniki to 7 i 11, a nie 8 i 12, bo skręcenia muszą sumować się do wielokrotności trzech, a obrócone krawędzie muszą chodzić parami. Końcowe dzielenie przez dwa to reguła parzystości: narożniki i krawędzie są zawsze permutowane z tą samą parzystością. Rozłóż kostkę i złóż ją na chybił trafił, a tylko jedno ustawienie na dwanaście da się ułożyć.
Wymieszaj wykonuje dwadzieścia losowo wybranych obrotów. Rozwiązywacza tu celowo nie ma. Ta strona nie mówi o tym, jak ułożyć kostkę, lecz o tym, czym są ruchy: elementami grupy skończonej, każdy ze swoim rzędem, każdy odwracalny, a wszystkie zbudowane z sześciu obrotów.