Pressione r ou s no painel de giros e a figura se move: r a gira um vértice, r' a gira de volta, s a reflete. Escolha uma sequência no painel de sequências: ela começa do polígono numerado e se repete, contando as voltas até os números voltarem. O painel de exibição muda o número de lados, do triângulo ao dodecágono.
Os movimentos que levam um polígono regular sobre si mesmo formam um grupo, chamado grupo diedral. Faça um movimento e depois outro e o resultado ainda é um movimento desses, existe um movimento que não faz nada, todo movimento tem outro que o desfaz, e quando três movimentos se seguem não importa qual par você lê primeiro. Essa é toda a definição de grupo, e aqui cada uma de suas linhas é algo que se pode apertar.
Dois movimentos bastam para construir todos. Girar um vértice é r, refletir no eixo que passa pelo vértice 0 é s, e esses dois são os geradores. Girar de volta não é um terceiro movimento: r' é r feito n menos uma vezes. Para uma figura de n lados há n rotações e n reflexões, então o grupo tem 2n elementos, e a leitura os conta para a figura que você está vendo.
Escolha uma sequência e repita: os números sempre voltam ao lugar de onde partiram. O número de voltas é a ordem daquele elemento. Só girar leva n voltas, então um hexágono volta em 6 e um heptágono em 7, enquanto qualquer reflexão volta em 2. Não é nada dos polígonos que faz isso: em qualquer grupo finito, repetir um elemento tem de voltar ao início mais cedo ou mais tarde.
Girar e depois refletir, e refletir e depois girar, são movimentos diferentes. Os dois levam a figura de volta sobre si mesma, os dois voltam em duas voltas, e ainda assim mandam o vértice 1 para lugares diferentes. Siga os números e você vê. É isso que significa um grupo não ser comutativo, e é a razão pela qual a ordem dos movimentos tem de ser anotada e não pode ser trocada. Uma reflexão inverte uma rotação: s r s é r' e não r.
Um comutador é um movimento, outro movimento, o primeiro desfeito, o segundo desfeito. Se os dois movimentos não interferissem um no outro, os quatro se cancelariam e nada aconteceria. Aqui ele se escreve r s r' s, porque uma reflexão desfaz a si mesma e não precisa de marca própria. O que sobra é uma rotação, r duas vezes, que é exatamente o quanto falta aos dois movimentos para comutarem. Num triângulo essa rotação é um terço de volta, e executá-la três vezes traz os números de volta para casa.
Tome só as rotações e você tem um grupo dentro do grupo, um subgrupo, e ele é o grupo cíclico: um movimento repetido n vezes. As reflexões são a outra metade, e cada uma delas é a sua própria inversa. Essas mesmas duas metades reaparecem na simetria dos ladrilhamentos e dos cristais, e o modo como o cubo de Rubik se comporta é este mesmo raciocínio num grupo maior.