Pressione U ou R' no painel de giros e essa face gira. Escolha uma sequência no painel de sequências: ela começa do cubo resolvido e se repete, contando as voltas até o cubo voltar. Arraste o cubo para girá-lo e use a roda do mouse para se aproximar.
Os giros do cubo de Rubik formam um grupo. Faça um giro e depois outro e o resultado ainda é um giro do cubo, existe um movimento que não faz nada, todo movimento tem outro que o desfaz, e quando três movimentos se seguem não importa qual par você lê primeiro. Essa é toda a definição de grupo, e aqui cada uma de suas linhas é algo que se pode apertar.
Os seis giros de face são os geradores. Por mais embaralhado que o cubo pareça, aquele estado foi construído com esses seis movimentos, e com eles também pode ser desfeito. Os giros inversos não são um extra: U' é apenas U feito três vezes.
Escolha uma sequência e repita: o cubo sempre volta a ficar resolvido. O número de voltas é a ordem daquele elemento. U sozinho volta em 4, e R U, que é só duas faces se alternando, leva 105. Não é nada do cubo que faz isso: em qualquer grupo finito, repetir um elemento tem de voltar ao início mais cedo ou mais tarde. O máximo que uma sequência leva aqui são 1260 voltas, e R U2 D' B D' é uma delas.
Um comutador é um movimento, outro movimento, o primeiro desfeito, o segundo desfeito. Se os dois movimentos não interferissem um no outro, os quatro se cancelariam e nada aconteceria. Eles interferem, então sobra um pouco, e o ponto é o quão pouco: R U R' D R U' R' D' move apenas três peças. Poder mexer numa parte pequena sem revolver o resto é o que torna possíveis os métodos de resolução.
O grupo tem 43.252.003.274.489.856.000 elementos. Oito cantos podem ser dispostos de 8! maneiras e doze arestas de 12!, as torções dos cantos dão 3 elevado a 7 e as inversões das arestas 2 elevado a 11, e o produto é dividido por dois. Os expoentes são 7 e 11 em vez de 8 e 12 porque as torções têm de somar um múltiplo de três e as arestas invertidas têm de vir aos pares. A divisão final por dois é a regra de paridade: cantos e arestas são sempre permutados com a mesma paridade. Desmonte um cubo e monte-o de novo ao acaso: apenas uma posição em doze tem solução.
Embaralhar aplica vinte giros escolhidos ao acaso. Não há um resolvedor aqui, de propósito. Esta página não é sobre como resolver um cubo, mas sobre o que são os movimentos: elementos de um grupo finito, cada um com uma ordem, cada um reversível, e todos construídos a partir de seis giros.