Нажмите r или s на панели поворотов, и фигура сдвинется: r поворачивает её на одну вершину, r' — обратно, s отражает её. Выберите последовательность на панели последовательностей: она начнётся с пронумерованной фигуры и будет повторяться, считая повторы до возвращения номеров. На панели отображения число сторон меняется от треугольника до двенадцатиугольника.
Движения, переводящие правильный многоугольник в себя, образуют группу — группу диэдра. Сделайте одно движение, затем другое — результат снова такое же движение, есть ход, который ничего не делает, у каждого хода есть другой, отменяющий его, а когда три хода идут подряд, неважно, какую пару прочесть первой. Это и есть всё определение группы, и здесь каждая его строка — то, что можно нажать.
Двух ходов достаточно, чтобы построить все. Поворот на одну вершину — это r, отражение относительно оси через вершину 0 — это s, и эти два хода и есть образующие. Поворот назад не является третьим ходом: r' — это r, сделанное n минус один раз. Для фигуры с n сторонами есть n поворотов и n отражений, поэтому в группе 2n элементов, и панель считает их для той фигуры, которую вы видите.
Выберите последовательность и повторяйте её — номера всегда возвращаются туда, откуда вышли. Число повторов и есть порядок этого элемента. Один только поворот требует n повторов, так что шестиугольник возвращается за 6, а семиугольник за 7, тогда как любое отражение возвращается за 2. Дело не в многоугольниках: в любой конечной группе повторение одного элемента рано или поздно возвращает к началу.
Повернуть, а затем отразить и отразить, а затем повернуть — разные движения. Оба переводят фигуру в себя, оба возвращаются за два повтора, и всё же они отправляют вершину 1 в разные места. Проследите за номерами, и вы это увидите. Именно это и значит, что группа некоммутативна, и по этой же причине порядок ходов приходится записывать и нельзя переставлять. Отражение разворачивает поворот: s r s равно r', а не r.
Коммутатор — это ход, другой ход, отмена первого, отмена второго. Если бы два хода не мешали друг другу, все четыре сократились бы и ничего не произошло. Здесь его пишут r s r' s, потому что отражение отменяет само себя и не нуждается в собственном знаке. Остаётся поворот, r дважды, и это ровно то, насколько два хода не коммутируют. На треугольнике этот поворот — треть оборота, и трижды выполненный он возвращает номера домой.
Возьмите одни повороты — и получится группа внутри группы, подгруппа, и это циклическая группа: один ход, повторённый n раз. Отражения — вторая половина, и каждое из них обратно самому себе. Эти же две половины снова появляются в симметрии замощений и кристаллов, а поведение кубика Рубика — то же самое рассуждение на большей группе.