กด r หรือ s ในแผงการหมุนแล้วรูปจะขยับ r หมุนไปหนึ่งจุดยอด r' หมุนย้อนกลับ s พลิกรูป เลือกลำดับในแผงลำดับ ลำดับจะเริ่มจากรูปที่มีหมายเลขเรียงอยู่แล้ววนซ้ำ พร้อมนับรอบจนหมายเลขกลับมา แผงการแสดงผลปรับจำนวนด้านได้ตั้งแต่สามเหลี่ยมจนถึงสิบสองเหลี่ยม
การเคลื่อนที่ที่ทับรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าลงบนตัวมันเองประกอบกันเป็นกรุป เรียกว่ากรุปไดฮีดรัล ทำหนึ่งการกระทำแล้วทำอีกอันหนึ่ง ผลลัพธ์ก็ยังเป็นการกระทำแบบเดียวกัน มีการกระทำที่ไม่ทำอะไรเลย ทุกการกระทำมีอีกอันที่ย้อนกลับได้ และเมื่อสามการกระทำต่อกัน จะอ่านคู่ไหนก่อนก็ให้ผลเดียวกัน นี่คือนิยามของกรุปทั้งหมด และที่นี่ทุกบรรทัดของมันคือสิ่งที่กดได้จริง
สองการกระทำก็พอจะสร้างได้ทั้งหมด การหมุนไปหนึ่งจุดยอดคือ r การพลิกรอบแกนที่ผ่านจุดยอด 0 คือ s สองอันนี้คือตัวก่อกำเนิด การหมุนย้อนไม่ใช่การกระทำที่สาม r' คือ r ที่ทำ n ลบหนึ่งครั้ง สำหรับรูป n ด้าน มีการหมุน n แบบและการพลิก n แบบ กรุปจึงมีสมาชิก 2n ตัว และแผงจะนับให้ตามรูปที่กำลังดูอยู่
เลือกลำดับแล้ววนซ้ำ หมายเลขจะกลับไปที่เดิมเสมอ จำนวนรอบที่ใช้คืออันดับของสมาชิกนั้น การหมุนอย่างเดียวใช้ n รอบ หกเหลี่ยมจึงกลับมาใน 6 รอบ เจ็ดเหลี่ยมใน 7 รอบ ส่วนการพลิกอันใดก็กลับมาใน 2 รอบ นี่ไม่ใช่ความมหัศจรรย์ของรูปหลายเหลี่ยม ในกรุปจำกัดใด ๆ การทำสมาชิกเดิมซ้ำ ย่อมกลับสู่จุดเริ่มต้นในที่สุด
หมุนก่อนแล้วพลิก กับ พลิกก่อนแล้วหมุน เป็นคนละการกระทำ ทั้งคู่ทับรูปลงบนตัวเอง ทั้งคู่กลับมาใน 2 รอบ แต่กลับพาจุดยอด 1 ไปคนละที่ ลองตามหมายเลขดูก็จะเห็น นั่นคือความหมายของกรุปที่ไม่สลับที่ และเป็นเหตุผลที่ลำดับของการกระทำต้องจดไว้และสลับไม่ได้ การพลิกทำให้การหมุนกลับทิศ s r s เท่ากับ r' ไม่ใช่ r
ตัวสับเปลี่ยนคือ การกระทำหนึ่ง อีกการกระทำหนึ่ง ย้อนอันแรก ย้อนอันที่สอง ถ้าสองการกระทำไม่รบกวนกัน ทั้งสี่จะหักล้างกันหมดและไม่เกิดอะไรขึ้น ที่นี่เขียนว่า r s r' s เพราะการพลิกย้อนตัวเองได้อยู่แล้ว จึงไม่ต้องมีเครื่องหมายของตัวเอง สิ่งที่เหลืออยู่คือการหมุน คือ r สองครั้ง ซึ่งก็คือระยะที่สองการกระทำนี้ไม่สลับที่กันพอดี บนสามเหลี่ยม การหมุนนั้นเท่ากับหนึ่งในสามรอบ ทำสามครั้งหมายเลขก็กลับบ้าน
ถ้าหยิบเฉพาะการหมุนออกมา ก็จะได้กรุปที่อยู่ในกรุป เรียกว่ากรุปย่อย และมันคือกรุปวัฏจักร คือการกระทำเดียวที่ทำซ้ำ n ครั้ง อีกครึ่งหนึ่งคือการพลิก ซึ่งแต่ละอันเป็นตัวผกผันของตัวเอง สองครึ่งเดียวกันนี้ปรากฏอีกครั้งในสมมาตรของลายปูพื้นและของผลึก และพฤติกรรมของลูกบาศก์รูบิกก็คือการให้เหตุผลแบบเดียวกันบนกรุปที่ใหญ่กว่า